线代,设A为n阶可对角化矩阵,切r(A-E)

定理4.2.1么.
设A=∑λiGi 和A=∑λiPi
→ AGi=λiGi ,APj=λjPj ,i=!j
→ APjGi=λiPjGi,AGiPj=λjGiPj
→ λiPjGi=λjPjGi ,i=!j
→PjGi=0
→Gi=InGi=(∑Pi)Gi=PiGi,Pi=PiIn=Pi(∑Gi)=PiGi
→Pi=Gi

这个结果对于会若当标准型的人是一目了然的.
每一个方阵都与一个若当矩阵相似,即对任意n阶方阵A,存在一个可逆的n阶方阵X和n阶若当阵J,使得A=X^(-1)JX；若当阵是有若当块组成的准对角矩阵,若当块就是主对角线上元素相同,主对角线上方斜线上元素都是1,其余元素都是0的矩阵.若当块都能分解成一个数量阵+一个幂零阵的形式,所以若当阵就能分解成一个可对角化矩阵+一个幂零阵,(这里的幂要取到该若当阵所含所有若当块分解下的所有幂零阵的幂的公倍数).
分解以后再利用X和X^(-1)回来就得到A的分解式.
唯一性是因为任意矩阵的若当标准型在不计若当块的排列次序的情况下是唯一的,而乘回来X和X^(-1)后排列次序也被固定了.
我想应该是你没有理解我的意思,举个例子最容易说明问题,如果你明白若当标准型的话可以qq我,22949520,我用一个例子解释一下我是怎么做的.

用特征多项式求特征值,求出的特征值为Λ的主对角元素
也就是A的相似对角矩阵

这个是当然的.如果P^{-1}AP=D,那么AP=PD,直接用乘法验证一下P的每一列都是A的特征向量.

证明: 因为A可对角化, A的特征值全为1或者-1 (与你给的已知不同)
所以存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)
其中 λi=±1, i=1,2,...,n.
所以 λi^-1 = λi.
所以 A=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^-1
所以 A^-1=[Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^-1]^-1
= Pdiag(λ1,λ2,...,λn)^-1P^-1
= Pdiag(λ1^-1,λ2^-1,...,λn^-1)P^-1
= Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^-1
= A.
注:若A的特征值全为1, 则A=E; 若A的特征值全为-1, 则A=-E.
结论trivial. 所以猜想A的特征值全为1或者-1.
另: 有疑问请追问, 搞定请采纳.

注意特征值相同这个条件不如特征向量相同有价值
可以把 A2 写成 A2 = V1*P*D2*P^{-1}*V1 = V1*D3*V1^{-1},P 是一个排列阵,D3=P*D2*P^{-1} 仍然是对角阵,把 D 重排一下而已
这样 A1*A2 = V1*(D1*D3)*V1^{-1} 就是特征分解