求f(x)=tanx/2-cotx/2的导数

f(x)=1/2sin²x（cotx/2-tanx/2)+（根号3）/2*cos2x
=1/2sin²x{[cos(x/2)]^2-[sin(x/2)]^2}/[cos(x/2)sin(x/2)]+(根号3)/2*cos2x
=sinxcosx+(根号3)/2*cos2x
=sin2x/2+(根号3)/2*cos2x
=sin(2x+π/3)
然后利用sin函数的单调区间即可求所需结果.
(-5π/12+kπ,π/12+kπ)单调递增,k为任意整数
(π/12+kπ,7π/12+kπ)单调递减,k为任意整数

这题目应该有问题吧
cotx/2-tanx/2=2cosx/sinx
而用软件画出的图像挺复杂的
图：
很难求

令a=x/2
x=2a
所以原式=cos²2a/(cosa/sina-sina/cosa)
=cos²2a/[(cos²a-sin²a)/sinacosa]
=cos²2a/(cos2a/sinacosa)
=cos2a*sinacosa
=cos2a*1/2sin2a
=1/4*sin4a
=(sin2x)/4

这是三角函数的化简求值,需要熟悉一些常用公式.

括号里的化简：cot(x/2)-tan(x/2)=cos(x/2)/sin(x/2)-sin(x/2)/cos(x/2), 然后通分,下边分母是sin(x/2)*cos(x/2)=1/2sinx； 上边是cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=cosx；所以化简结果为：2cosx/sinx.（二倍角公式）

原式前面部分为：1/2sin^2（x）*2cosx/sinx=sinx*cosx=1/2sin2x；（二倍角公式）

原式=1/2sin2x+~3/2cos2x=sin2xcos60°+cos2xsin60°=sin（2x+60°） （和差化积公式）

这就是一个正弦函数了,可以设y=2x+pi/3；即变成标准的正弦函数,根据函数图像,可以看出增区间和减区间了.

第二问求值也是同样的道理

等式左边=2sinxcosx/[sinx+(cosx-1)][sinx-(cosx-1)]=2sinxcosx/[sin^2x-(cosx-1)^2]=2sinxcosx/(sin^2x-cos^2x+2cosx-1)=2sinxcosx/(2cosx-2cos^2x)=sinx/(1-cosx)=2sin(x/2)cos(x/2)/[1-2cos^2(x/2)+1]=sin(x/2)cos(x/2)/[1-cos^2(x/2)]=sin(x/2)cos(x/2)/sin^2(x/2)=cot(x/2)

cotx/2-tanx/2=(cosx/2)/sinx/2)-(sinx/2)/(cosx/2)
=[(cosx/2)^2-(sinx/2)^2]/(sinx/2*cosx/2)
=cosx/(sinx/2*cosx/2)
cotx/2+tanx/2=(cosx/2)/sinx/2)-(sinx/2)/(cosx/2)
=[(cosx/2)^2-(sinx/2)^2]/(sinx/2*cosx/2)
=1/(sinx/2cosx/2)
所以:（cotx/2-tanx/2)/(cotx/2+tanx/2) =cosx

原式=(1+2cos²x-1)/[cos(x/2)/sin(x/2)-sin(x/2)/cos(x/2)]
=2cos²x/{[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/sin(x/2)cos(x/2)}
=2cos²xsin(x/2)cos(x/2)/cos[2×(x/2)]
=cos²2x×sin[2×(x/2)]/cosx
=cosxsinx
=1/2×sin2x

已知x∊(0,π/2),比较2sin2x与cotx/2的大小
∵2sin2x-cot(x/2)=4sinxcosx-sinx/(1-cosx)=[4sinxcosx(1-cosx)-sinx]/(1-cosx)
=-sinx(4cos²x-4cosx+1)/(1-cosx)=-sinx(2cosx-1)²/(1+cosx)≦0
这是因为x∊(0,π/2),sinx>0,2cosx-1≧0,1+cosx>0之故.
∴2sin2x≦cot(x/2),当且仅仅当x=π/3时等号成立.