BC＝2AB,点O是AC中点,若AB＝20cm,求线段OB长.如图:

解题思路：方法一：用余弦定理与正弦定理依次求出线段AC的长与角ACB的大小，进而在三角形DBC中求弧

CD

的所对的圆心角的大小，用弧长公式求出弧长．
方法二：建立坐标系，求出线段BD与线段BC所对应的向量的坐标，然后用向量的夹角公式算出角DBC的大小，再用弧长公式求出弧长．

解法一：连接BD，在△ABC中，由余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cos∠ABC=4+2−4
2•(−

2
2)＝10
所以AC＝
10．
再由正弦定理得
AC
sin∠ABC＝
AB
sin∠ACB⇒sin∠ACB＝
2•

2
2

10＝

5
5
在△DBC中，因为BD=BC，故∠DBC＝π−2arcsin

5
5，
所以

点评：
本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题两种方法，方法一灵活运用解三角形的相关公式求出弧所对的圆心角的大小，些方法运算量较小，但方法的设计作辅助线等的思维量较大．方法二建立坐标系，求出了两个半径所在线段对应的向量，方法好想，但转化为坐标后运算量较大．请答题者做完本题后，对比两种方法解题的特点．本题中的数据需用把三角数表示，现在的教材已将把三角函数删除，这是本题设计上的不足之处．

∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,那么
^AD²=(^AB²+^AC²)/2,
^AB²=^AC²+^BC²=16+4=20．
∴(^AB-^AC)·^AD=(^AB-^AC)·(^AB+^AC)/2 =(^AB²-^AC²)/2=(20-16)/2=2．
以CA所在的直线为x轴,以CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A的坐标为（4,0）,B的坐标为（0,2）,
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0,1）,点E的坐标为（2,1）,设点P的坐标为（x,y）,
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域,故有
x≥0
y≥0
x/4+y/2≤1
．
令t=^AD·^EP=（-4,1）·（x-2,y-1）=7-4x+y,即 y=4x+t-7．
故当直线y=4x+t-7过点A（4,0）时,t取得最小值为7-16+0=-9,
当直线y=4x+t-7过点B（0,2）时,t取得最大值为 7-0+2=9,
故t=^AD·^EP的取值范围是[-9,9]
用这个符号表示 ^ 向量了