记aij为第i行第j列的数,如a23=4,那么a87是 ,2014在第几行第几个

∵脚码的第一个数表示行数，第二个数表示列数，
∴a₂₃=4，a₂₂=3，a₅₂=6，a₅₃=7，
∴（a₂₃-a₂₂）+（a₅₂-a₅₃）=（4-3）+（6-7）=1+（-1）=0．
故答案为：0．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题是对数字变化规律的考查，根据题目信息，明确脚码第一个数表示行数，第二个数表示列数找出相关的数据是解题的关键．

设第一行的公差为d，依题意可知

(
1
2+d)q 2＝
1
4
(
1
2+3d)q ＝1，解得q=[1/2]，d=[1/2]
∴a_ij=[[1/2]+（j-1）[1/2]]（[1/2]）^i-1=j•(
1
2)i
故答案为[1/2]，j•(
1
2)i

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式．本题主要考查了学生对等差数列和等比数列的理解和灵活运用．

（Ⅰ）b₁=1；b₂，=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46；
可见：b₂-2b₁=2；b₃-2b₂=2；b₄-2b₃=2；b₅-2b₄=2，（2分）
猜测：b_n+1-2b_n=2（或b_n+1=2b_n+2或b_n+1-b_n=3×2^n-1）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）
bn+1+2
bn+2＝2，（7分）
所以b_n+2是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+2=3×2^n-1，即b_n=3×2^n-1-2（注：若考虑
bn+2
bn−1+2，且不讨论n=1，扣1分）（10分）
（Ⅲ）若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然，b_n是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（11分）
即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2），于是2×2^q-r=2^p-r+1（14分）
由p、q、r∈N^*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，
∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，
故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差数列．（16分）

点评：
本题考点： 数列的应用；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的性质和综合应用及等比关系的确定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

（Ⅰ）∵数表中前i-1行共有1+2¹+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，
则第i行的第一个数是2^i-1，∴aij＝2i−1+j−1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，a_ij=2013，则i-1=10，即i=11．
令2¹⁰+j-1=2013，则j=2013-2¹⁰+1=990．
（Ⅱ）∵aij＝2i−1+j−1，∴ann＝2n−1+n−1(n∈N*)，
∴An＝(1+2+22+…+2n−1)+[0+1+2+…+(n−1)]=2n−1+
n(n−1)
2，
当n≥4时，An＝(1+1)n−1+
n(n−1)
2＞
C0n+
C1n+
C2n+
C3n−1+
n(n−1)
2=n2+
C3n．
∴当n≥4时，A_n＞n²+C
3n．

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、二项式定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．

∵2014=16×125+2×7，2014=8×252-2，
∴可以看作是125×2行，再从251行数7个数，也可以看作252行再去掉2个数，也就是2014在第252行第2列．
即i=252，j=2
所以i+j=252+2=254
故选：C．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 此题考查了规律型：图形的变化，首先注意分析两端中列的规律，然后分析出大概在第几行，再进一步推算所在的列．

（1）数表中前n行共有1+2+2²+…+2 ^n-1=2ⁿ-1个数，
即第i行的第一个数是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1．
∵2¹⁰＜2012＜2¹¹，a_ij=2012，
∴i=11．
令2¹⁰+j-1=2012，
解得j=2010-210+1=989．i+j=11+989=1000
故答案为：1000

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题考查数阵形式的归纳推理，关键在于得出数的排列规律，准确应用等比数列，等差数列的通项公式．

依题意知，①A（2，3）=a₄=2⁴=16；即①正确；

由图可知，第i行最后一个数是ai2，
∴②A（i，3）=a(i−1)2+3=2i2−2i+4，
A（i，2）=a(i−1)2+2=2i2−2i+3
∴A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；即②正确；

③[A（i，i）]²⁼(a(i−1)2+i)2=(2i2−i+1)2
A（i，1）•A（i，2i-1）=2i2−2i+2•2i2=22(i2−i+1)=(2i2−i+1)2=[A（i，i）]²，即③正确；

④A（i+1，1）=ai2+1=2i2+1，A（i，1）•2^2i-1=2i2−2i+2•2^2i-1₌2i2+1
∴A（i+1，1）=A（i，1）•2^2i-1，即④正确；
故答案为：①②③④．

点评：
本题考点： 数列的应用．

考点点评： 此题考查数列最一般的方法是观察法．
通过行数与项之间的关系可以找到规律，
题中还反映了从特殊到一般的数学思想．

第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j-1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列Aij（i=1，2，…）是以j+...

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题．

设第一行的公差为d，依题意可知

(
1
2+d)q 2＝
1
4
(
1
2+3d)q ＝1，解得q=[1/2]，d=[1/2]
∴a_ij=[[1/2]+（j-1）[1/2]]（[1/2]）^i-1=j•(
1
2)i
故答案为[1/2]，j•(
1
2)i

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式．本题主要考查了学生对等差数列和等比数列的理解和灵活运用．

由题得，a_i1=[1/4]+[1/4]（i-1）=[i/4]，
∵从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，且第三行的公比为 [1/2]．
∴a_ij=[i/4]（ [1/2]）^j-1．
故 a₈₃=
8
4×(
1
2)3−1=[1/2]
故答案为[1/2]．

点评：
本题考点： 等比数列的性质；等差数列的性质．

考点点评： 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，解题时要仔细观察，耐心寻找数量间的相互关系，总结规律，注意归化与转化思想的运用，属于基础题．．

设第一行的公差为d，依题意可知

(1+2d)q＝1
(1+d)q2＝
3
8
∴d＝
1
2，q＝
1
2
∴a₄₄=（1+3d）q³=[5/16]
故答案为：[5/16]

点评：
本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

该矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故选A．

点评：
本题考点： 数列的函数特性．

考点点评： 由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．

首先N₃ 一定是6个数中最大的，故 N₃=6，且6在第三行，N₂ 一定是5，4，3中一个，
若N₂ 是2，则第二行另一个数只能是1，那么第一行的数就比2大，无法满足 N₁＜N₂＜N₃ ，
当N₂ 是5，N₁ 可以是4，3，2，1，满足条件的排列个数4×3×2×6=144个．
当N₂是4，N₁ 可以是3，2，1，此时5必须在第三行，满足条件的排列个数3×6×2×2=72个．
当N₂是3，N₁ 可以是e，f，此时c必须在第三行，满足条件的排列个数2×6×2×1=24个．
综上，总的符合条件的排列的个数为24+72+144=240，
故答案为240．

点评：
本题考点： 计数原理的应用．

考点点评： 本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是正确理解题意，分析处符合题设条件的排列方式，由于本题涉及的条件较多，结构复杂，故采取分类计数的方式，由于分类时涉及到的因素较多，使得本题容易出错，本题综合性强，需要灵活运用所学的知识解题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

把矩阵的数字改为如下形式，第i行第一个数字不变，最后一个数字代表第j列的元素的第一个数字，
13，2
6，5，4
10，9，8，7
15，14，13，12，11
21，20，19，18，17，16
…

可以看出每行的数字都是连续递减的，第一列的数为1，3，6，…，
∴a_i1=1+2+…+n=
n(n+1)
2，
∵
25×(25+1)
2＝325＞321，
∴325是第25行的第一个数字，则321是第25行的第5个数，
∴对于矩阵而言，321则位于第（25-5+1）行，第5列，
即i=21，j=5，
故i+j=21+5=26．
故答案为：26．

点评：
本题考点： 归纳推理；高阶矩阵．

考点点评： 本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于中档题．

（Ⅰ）r₁（A）=r₃（A）=r₄（A）=1，r₂（A）=-1；C₁（A）=C₂（A）=C₄（A）=-1，C₃（A）=1，
所以l（A）=
4

i=1r_i（A）+
4

j=1C_j（A）=0．…（3分）
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表A₀：a_ij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A₀）=2n．
将数表A₀中的a₁₁由1变为-1，得到数表A₁，显然l（A₁）=2n-4．
将数表A₁中的a₂₂由1变为-1，得到数表A₂，显然l（A₂）=2n-8．
依此类推，将数表A_i-1中的a_kk由1变为-1，得到数表A_k．
即数表A_k满足：a₁₁=a₂₂=…=a_kk=-1（1≤k≤n），其余a_ij=1．
所以r₁（A）=r₂（A）=…=r_k（A）=-1，C₁（A）=C₂（A）=…=C_k（A）=-1．
所以l（A_k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．…（7分）
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在A∈S（n，n），其中n为奇数，使得l（A）=0．
因为r_i（A）∈{1，-1}，C_j（A）∈{1，-1}（1≤i≤n，1≤j≤n），
所以为r_i（A），C_j（A）（1≤i≤n，1≤j≤n），这2n个数中有n个1，n个-1．
令M=r₁（A）•r₂（A）•…•r_n（A）C₁（A）C₂（A）•…•C_n（A）．
一方面，由于这2n个数中有n个1，n个-1，从而M=（-1）ⁿ=-1．①
另一方面，r₁（A）•r₂（A）•…•r_n（A）表示数表中所有元素之积（记这n²个实数之积为m）；C₁（A）C₂（A）•…•C_n（A）也表示m，从而M=m²=1． ②
①、②相互矛盾，从而不存在A∈S（n，n），其中n为奇数，使得l（A）=0．
即n为奇数时，必有l（A）≠0．…（13分）

点评：
本题考点： 反证法与放缩法；数列的函数特性；数列的应用．

考点点评： 本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大．

由题意1在第二行，下由分步原理求解本题，
第一步排数字1，有A₃¹排法
第二步其它的四个数字有A₄⁴排法
故满足a₁＞a₂的所有排列的个数是A₃¹×A₄⁴=72种
故答案为72

点评：
本题考点： 计数原理的应用．

考点点评： 本题考查了排列数公式与分步计数原理，解答本题关键是要清楚第一步要做什么，第二步要做什么，本题正确理解转化ai（i=1，2）表示第i行中最小的数，则满足a1＞a2是解题的题眼，题后注意总结解题的经验．

由题目给出的a1•j＝2j−1可知，数表中的第一行第n列的数满足an＝2n−1，
第二行中的每一个数是第一行中同列的数加1，所以，第二行中第n列的数为bn＝2n−1+1，
第三行中每列的数是在第二行中同列的数的基础上加列数，故第三行中第n列的数为c_n=b_n+n，
即cn＝2n−1+1+n．
所以，第3行第n个数为2^n-1+n+1．
故答案为2^n-1+n+1．

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题给出等差、等比数列模型，求数表中第3行的通项公式，着重考查了等差、等比数列的通项公式和数列的函数特性，解答的关键是对给出的数表进行规律性的总结，属于中档题．

a_2，7=a_1，6+a_1，5+a_1，4+a_1，3+a_1，2+a_1，1+a_2，1
=2⁵+2⁴+2³+2²+2¹+2⁰+2=65；
将3，5，8，13，22，39，…，b_n，
各项依次减去2，3，4，5，6，7，…，n+1，
得1，2，4，8，16，32，…，2^n-1，
∴b_n-（n+1）=2^n-1，得b_n=2^n-1+n+1，即为数列{b_n}的通项公式
故答案为：65，b_n=2^n-1+n+1．

点评：
本题考点： 等差数列的通项公式；等差数列．

考点点评： 本题给出等差、等比数列模型，求数阵中第3行的通项公式，着重考查了等差、等比数列的通项公式和数列的函数特性等知识，属于中档题．

由表可知，第i行第j列的数为：（i-1）n+j．
故选：D．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题是对数字变化规律的考查，仔细观察表中数据，得到数的表示与行数和列数的关系是解题的关键．

（Ⅰ）由题意可得a_2．j=a_1．j+1，故有 a_2.8 =a_1.7+a_2.7 =a_1.7+a_1.7+1=2×2⁶+1=129．
故答案为 129．
（Ⅱ）由题意可得b₁=3，b₂=5，当n≥3时，b_n=2^n-2+1+b_n-1，即 b_n-b_n-1=2^n-2+1．
由 b₁=3，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2+1，b₄-b₃=2²+1，b₅-b₄=2³+1，b₆-b₅=2⁴+1，…b_n-b_n-1=2^n-2+1，
累加可得 b_n=3+2+（2+1）+（2²+1）+（2³+1）+（2⁴+1）+…+（2^n-2+1）
=5+（2+2²+2³+…+2^n-2）+（n-2）×1=
2(1−2n−2)
1−2+n+3=2^n-1+n+1，
故答案为 b_n=2^n-1+n+1．

点评：
本题考点： 数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用累加法进行求和，属于
中档题．

该矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j=（2ⁱ-1）（2^j-1）+2ⁱ-1+2^j-1=2^i+j-1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a_ij=a_mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故选A．

点评：
本题考点： 数列的函数特性．

考点点评： 由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．

（1）b₆=6+16+25+25+16+6=94．（2分）
（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2
=2b_n+2；（6分）
（3）∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2）（8分）
所以{b_n+2}是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，（9分）
则b_n+2=3•2^n-1⇒b_n=3•2^n-1-2．（11分）
若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然{b_n}是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（12分）
即2²（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化简得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列．（16分）

点评：
本题考点： 数列递推式；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

由前4行的特点：每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，
接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，
可得，第n行可为：（1，n），（2，n-1），（3，n-2），…，（n-1，2），（n，1）．
（1）a₆₄表示的数对为（4，3）；
（2）由a_ij对应的数对为（2m，n）（m，n为正整数），得，i=2m+n-1，j=2m，故i+j=4m+n-1．
故答案为：（4，3），4m+n-1．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题主要考查归纳推理的思想方法，注意观察和分析数对的特点，是解决该类问题的关键．

（1）b₁=1，b₂=2+2=4，b₃=3+4+3=10，b₄=4+7+7+4=22，
b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2=2b_n+2；
（2）证明：∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2）
∴{b_n+2}是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∵c_n=b_n+2，∴{c_n}是等比数列，
∵b_n+2=c_n=3•2^n-1，
∴b_n=3•2^n-1-2；
（3）若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然{b_n}是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（12分）
即2（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化简得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
∴（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列．

点评：
本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．

当C为20时，20+27=47，不符合合数的定义，所以答案A错；
当C为11时，11+8=19，不符合合数的定义，所以答案B错；
当C为4时，4+1=5，不符合合数的定义，所以答案D错；
故选 C．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 在作选择题时，如果直接不好找答案的话，可以借助于题中答案进行验证求解，这也是选择题所特有的解题方法．