若4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0．求：[cos2x−sin2x(1−cos2x)(1−tan2x)

函数y=sinx的图像在x方向缩小到一半得：y=sin2x函数y=sin2x的图像在y方向扩大到4倍得：y=4sin2xy=4sin2x在长度为一个周期的闭区间[0,pi]上的简图(五点法)如下：x y0 0pi/4 4pi/2 03pi/4 -4pi0

f（x）=4sin²x+2sin2x-2=2sinx-2（1-2sin²x）=2sin2x−2cos2x＝2
2sin(2x−
π
4)
（1）所以f（x）的最小正周期T=π，
因为x∈R，所以，
当2x−
π
4＝2kπ+
π
2，即x＝kπ+
3π
8时，f（x）最大值为2
2；
（2）证明：欲证明函数f（x）的图象关于直线x＝−
π
8对称，只要证明对任意x∈R，有f(−
π
8−x)＝f(−
π
8+x)成立，
因为f(−
π
8−x)＝2
2sin[2(−
π
8−x)−
π
4]＝2
2sin(−
π
2−2x)＝−2
2cos2x，f(−
π
8+x)＝2
2sin[2(−
π
8+x)−
π
4]＝2
2sin(−
π
2+2x)＝−2
2cos2x，
所以f(−
π
8−x)＝f(−
π
8+x)成立，从而函数f（x）的图象关于直线x＝−
π
8对称．

点评：
本题考点： 三角函数的最值；正弦函数的对称性．

考点点评： 本题考查了三角函数的最值，周期以及图象的对称，综合性比较强，是中档题．

∵4sin²x-6sinx-cos²x+3cosx=0，
∴4sin²x-cos²x-6sinx+3cosx=0，
∴（2sinx+cosx）（2sinx-cosx）-3（2sinx-cosx）=0，
∴（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0，
∵2sinx+cosx≤
5，∴2sinx+cosx-3≠0，
∴2sinx-cosx=0，即cosx=2sinx，
∴
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−tan2x)=
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−
sin2x/cos2x)]
=[cos2x−sin2x
(1−cos2x)
cos2x−sin2x/cos2x]=[cos2x/1−cos2x]
=
cos2x−sin2x
1−cos2x+sin2x=
(2sinx)2−sin2x
sin2x+sin2x=[3/2]

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，熟记公式是解决问题的关键，属中档题．

（1）由f（x）=

3sin4x
cos2x-4sin²x，x要满足cos2x≠0，从而2x≠kπ+[π/2] （k∈Z）
因此f（x）的定义域为{x|x≠[1/2]kπ+[π/4]，（k∈Z）}
又f（x）=2
3sin2x-2（2sin²x-1）-2=2
3sin2x+cos2x-2=4sin（2x+[π/6]）-2
∴-6≤f（x）≤2，当2x+[π/6]=2kπ+[π/2]，有f（x）=2
∴x=kπ+[π/6]，k∈Z时，f（x）的最大值为2
（2）由f（x）=4sin（2x+[π/6]）-2，2x≠2kπ±[π/2]
由2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]可知：
kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6] 且x≠kπ-[π/4]
于是f（x）在[kπ-[π/3]，kπ-[π/4]）上为增函数，在（kπ-

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，正弦的和角公式，三角函数最值的求法，综合性较强，解题的关键是熟练掌握三角函数中的有关公式且能根据这些公式灵活变形，本题第二小题易出错易因为忘记函数的定义域而出错，做题是要前后结合，完成题目后要复查一遍，另外，有着严密的逻辑推理习惯也有助于此类题的正确解答

（1）令x＝
9π
4，得
2a+4+9＝13−9
2，得a=-9．
（2）

f(x+π)＝−9(|sin(x+π|+|cos(x+π)|)+4sin2(x+π)+9
＝−9(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9＝f(x)
所以，f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意． 当x∈[0，
π
2]时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9．
设t＝sinx+cosx＝
2sin(x+
π
4)，t∈[1，
2]，则sin2x=2sinxcosx=t²-1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t²-9t+5，令4t²-9t+5=0，得t＝1或t＝
5
4∈[1，
2]，
于是x＝0，
π
2，或x＝x0(0＜x0＜
π
4)或x＝
π
2−x0，其中sin(x0+
π
4)＝
5

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；根的存在性及根的个数判断；正弦函数的图象．

考点点评： 本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求教的大小，判断f（x）=0在[0，π）上有4根，是解题的关键．

令cosx=t，则函数f（x）=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a=4t²+4t-3-a．
∵-[π/4]≤x≤[2π/3]，∴-[1/2]≤cosx≤1，即-[1/2]≤t≤1．
故方程4t²+4t-3-a=0 在[-[1/2]，1]上有解．
即求函数a=4t²+4t-3 在[-[1/2]，1]上的值域．
又函数a=4t²+4t-3 在[-[1/2]，1]上是单调增函数，
∴t=-[1/2]时，a有最小值等于-4，t=1时，a有最大值等于5，故-4≤a≤5，
故选 C．

点评：
本题考点： 正弦函数的定义域和值域；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，把问题转化为求函数 a=4t2+4t-3 在[-[1/2]，1]上的值域，是解题的关键，属于基础题．

（1）∵f（x）=2-2cos2x+2sin2x-2
=2
2sin（2x-[π/4]）
∴T=π
（ 2）g（x）=2
2sin[2（x-[π/8]）-[π/4]]
=-2
2cos2x，
∵g(
x0
2) ＝−
2
2
3，
∴cosx0＝
1
3，
∴x0∈ (
3π
2，2π)
∴sinx0＝−
2
2
3，
∴sin2x₀=2sinx₀cosx₀
=-
4
2

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题是一道难度较大的题，表现在以下两个方面第一需要自己根据三角函数图象的平移写出解析式，容易在符号和平移单位上出错，第二角的范围的判断是一个难点，这题是一个易错题．

∵f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a
=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a
=4cos²x+4cosx-3-a
=4(cosx+
1
2)2−4−a
又∵f（x）=0恒有解
∴0=4(cosx+
1
2)2−4−a即4(cosx+
1
2)2−4＝a在x∈[−
π
3，
2π
3]恒有解
由x∈[−
π
3，
2π
3]可得cosx∈[−
1
2，1]
∴−4≤4(cosx+
1
2)2−4≤5
∴-4≤a≤5
故答案为：[-4，5]

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了三角函数的同角平方关系的应用，由角的范围求解三角函数的范围，及二次函数在闭区间上的值域的 求解，属于函数知识的综合应用．

∵4sin²x-6sinx-cos²x+3cosx=0，
∴4sin²x-cos²x-6sinx+3cosx=0，
∴（2sinx+cosx）（2sinx-cosx）-3（2sinx-cosx）=0，
∴（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0，
∵2sinx+cosx≤
5，∴2sinx+cosx-3≠0，
∴2sinx-cosx=0，即cosx=2sinx，
∴
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−tan2x)=
cos2x−sin2x
(1−cos2x)(1−
sin2x/cos2x)]
=[cos2x−sin2x
(1−cos2x)
cos2x−sin2x/cos2x]=[cos2x/1−cos2x]
=
cos2x−sin2x
1−cos2x+sin2x=
(2sinx)2−sin2x
sin2x+sin2x=[3/2]

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，熟记公式是解决问题的关键，属中档题．

∵4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，∴4sin2x-cos2x-6sinx+3cosx=0，∴（2sinx+cosx）（2sinx-cosx）-3（2sinx-cosx）=0，∴（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0，∵2sinx+cosx≤5，∴2sinx+cosx-3≠0，∴2sinx-cosx=0，即...

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，熟记公式是解决问题的关键，属中档题．