用洛必达方法则求极限lim n趋近于无穷大(sin1/n+cos1/n)^n

洛必达定理可以无限次求导,是用来求极限的,而且首先必须要证明极限存在,很严谨的,二次求导只是微分学里的一个实施步骤,两者一个是用来求极限,一个是用来求导数的

f''(x)存在,说明在a->0时, [f'(x+a)-f'(x)]/a -> f''(x).

左式=lim_{h->0}[2f'(x+2h)-2f'(x+h)]/(2h)=lim_{h->0}[2f'(x+2h)-2f'(x)]/(2h) + lim_{h->0}[2f'(x)-2f'(x+h)]/(2h)
=2lim_{h->0}[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h) - lim_{h->0}[f'(x+h)-f'(x)]/h
=2f''(x) - f''(x)
=f''(x)

正确做法如上.

第一张图中,楼主划线处有纰漏, 导数定义中的被减项是个固定项,不能随着h的改变而变化.
因此, h->0时, [f'(x+2h)-f'(x+h)]/(2h) 的极限不是 f''(x+h).

第二张图中, f''(x+2h)和f''(x+h)不能保证存在. 因此,不能第二次应用洛必达法则.

lim(t→∞) te^(- pt)
= lim(t→∞) t/e^(pt),∞/∞形式,用洛必达法则,分子和分母各自进行求导
= lim(t→∞) 1/[p · e^(pt)]
= (1/p)lim(t→∞) 1/e^(pt),不是∞/∞形式,这可以代入了,t→∞,pt→∞,e^(pt)→∞
= (1/p) · 1/∞
= (1/p) · 0
= 0

这不就是重要极限嘛,lim(x→0) sinx/x=1,把x换成x-2就是这个题目了,还考虑什么其他方法呢?步骤就一句：lim(x→2) sin(x-2)/(x-2)=1.

1、x趋向于0,跟x趋向于无穷大,是两个不同的题目；2、x趋向于0时,是不定式,可以用罗毕达求导法则解答； x趋向于无穷大时,是定式,不是不定式,不可以用罗毕达法则.3、两种情况的解答,都给予解答如下： （如果看不清楚,请点击放大,会非常清晰）

(1)f '(x)在x=0处连续,这是洛必达的使用条件吗?
答：不是
评注上说的不能使用 洛必达 是因为 用洛必达 只能求出 lim(x趋向0) f(x)/x = lim(x趋向0) f'(x) .
可是 后面的 一步 lim(x趋向0) f'(x) = f‘(0) 却 需要条件 f '(x)在x=0处连续 才能得出
(2)f(x)在x=0处可导 只能说明f(x)连续 不能说明 f’(x) 连续
望采纳 谢谢
加油!

分母不为0

罗比达法则,主要用来解决以下几种未定式：
0/0型,∞/∞型,0·∞型,∞－∞型,1ºº 型,0ºº 型,∞º 型.
这些未定式,都可以通过化简转化成0/0型和∞/∞型,然后才可以利用罗比达法则进行解决.
e^x/x在x→0时,是1/0型,不符合罗比达法则使用条件.
e^x/x在X→∞时候,才可以使用罗比达法则.
把书本上定义一定要深刻理解并运用,不可囫囵吞枣,不求甚解.

g(h)=af(h)+bf(2h)-f(0),0=lim g(h)=af(0)+bf(0)-f(0),因此a+b-1=0.0=lim g(h)/h=lim [af(h)+bf(2h)-f(0)】/h=lim a【f(h)-f(0)】/h+lim b【f(2h)-f(0)】/h=af'(0)+2bf'(0),因此a+2b=0.解得a=2,b=-1.

设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1） x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的 导数 不等于0; （3） x→a时,lim( f'(x)/F'(x) )存在或为无穷大 则 x→a时,lim( f(x) / F(x) )=lim( f'(x)/F'(x) ) 由于条件皆满足,先令f(a)=F(a)=0.再用柯西中值定理进一步证明.详细阐述见图.理解 （1）本定理所有条件中,对 x→∞ 的情况,结论依然成立.（2）本定理第一条件中,lim f(x) 和 lim F(x) 的极限皆为 ∞ 时,结论依然成立.（3）上述 lim f(x) 和 lim F(x) 的构型,可精练归纳为 0/0、∞/∞ ；与此同时,下述构型也可用洛必达法则求极限,只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方 .（上述构型中0表示无穷小,∞表示 无穷大.） 注意 （1）在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型构型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形）,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.比如利用泰勒公式求解.（2）若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.（3）洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.（4）洛必达法则常用于求不定式极限.基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a）,而其他的如0*∞型,∞-∞型,以及1^∞型,∞^0型和0^0型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解.应用 求极限是高等数学中最重要的内容之一,也是高等数学的基础部分,因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义.求极限的方法有很多,其中之一是用洛必达法则求解未定式“00”型与“∞∞”型,洛必达法则定理如果(1)lim(x→x0)(x→∞)f(x)=0(或∞),lim(x→x0)(x→∞)g(x)=0(或∞);(2)在点x0的某去心邻域内(或|x|>X),f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0;(3)lim(x→x0)(x→∞)f′(x)g′(x)存在(或为无穷大),那么有(lxi→mx0)(x→∞)f(x)g(x)=lim(x→x0)(x→∞)f′(x)g′(x)=A(A为有限值或无穷大).用洛必达法则求极限的常见题型 求limx→0 tan x-xx2sinx.解limx→0 tan x-xx2sinx=lxi→m0tanxx3-x·s ixnx=lxi→m0tanxx3-x=limx→0sec2x-13x2=lxi→m02sec26x·x tan x=3 以上为粘贴的,本人总结满足了以上的限制,直接就分子,分母分别求导后,再带入趋近于的那个数,答案自然就出来了.现在考这个都比较浅显,知道这样就都能做了

你好!
令 t = 1/x^2
则 1/x^100 = t^50
原式 = lim(t→+∞) t^50 / e^t
分子分母同时求导50次
分母始终不变,分子最后得到 50!
= lim(t→+∞) 50!/e^t
= 0

上下都趋于无穷一样可以运用洛必达法则
不定型的问题原则上都可以用洛必达求解 只是需要用ln或者e的变换

实现洛必达必须知道上面和下面必须同时是无穷小的时候才可以进行同阶无穷小的变换

是否变换和是分子分母没有直接关系

为简便略去极限号
原式=[a(1-x^b)-b(1-x^a)]/(1-x^a)(1-x^b)洛比达法则
=[-abx^{b-1}+abx^{a-1}]/[-ax^{a-1}(1-x^b)-bx^{b-1}(1-x^a)]
=ab[x^{b-1}-x^{a-1}]/[ax^{a-1}+bx^{b-1}-(a+b)x^{a+b-1}]
=abx^{b-1}[1-x^{a-b}]/{x^{b-1}[ax^{a-b}+b-(a+b)x^a]}
=ab[1-x^{a-b}]/[ax^{a-b}+b-(a+b)x^a]洛比达法则
=-ab(a-b)x^{a-b-1}/[a(a-b)x^{a-b-1}-(a+b)ax^{a-1}]
=-ab(a-b)/[a(a-b)-(a+b)a]
=-ab(a-b)/-2ab=(a-b)/2

lim(x->1) (1-x)^cos(πx/2)
=lim(x->1) e^[cos(πx/2)ln(1-x)]
=e^ {lim(x->1) [ln(1-x)/sec(πx/2)]}
=e^ {lim(x->1) [2cos^2(πx/2)/π(x-1)sin(πx/2)]
=e^ {1/π*lim(x->1) [(1+cos(πx))/(x-1)sin(πx/2)]}
=e^ {lim(x->1) [-sin(πx)/[sin(πx/2)+π/2*(x-1)cos(πx/2)]
=e^0
=1

lim(1/sin^2x-1/x^2)
=lim(x^2-sin^2x)/(x^2sin^2x)
=lim(x^2-sin^2x)/(x^4)
=lim(2x-sin2x)/4x^3
=lim(2-2cos2x)/12x^2
=lim4sin2x/24x
=1/3

同学你好，很高兴跟你探讨，你现在的困惑是所有极限学习者包括考研学生，都有的困惑。说实话，有些老师也是用第一种方法教的，但其实是一种错解。所以你做错了，很正常，能意识到自己的错误，已经很不简单了。
你先看一下这道题，看看它是什么类型的，不就是已知极限，反求参数吗，这种题看似很多能用洛必达，但其实没有一道能用的，因为它不满足洛必达法则成立的第三个条件，第三个条件就是分子的导数除以分母的导数，最...

说明这个函数在x=0的邻域内有函数值
可以

y=(π/2-arctanx)^(1/lnx)
lny=ln(π/2-arctanx)/lnx)
∞/∞
分子求导=1/(π/2-arctanx)*[-1/(1+x²)]
=-1/[(π/2-arctanx)(1+x²)]
分母求导=1/x
所以=-x/[(π/2-arctanx)(1+x²)]
还是∞/∞
分子求导=-1
分母求导=-1/(1+x²)*(1+x²)+(π/2-arctanx)*2x=-1+2x(π/2-arctanx)
x(π/2-arctanx)=(π/2-arctanx)/(1/x)
0/0型
分子求导=-1/(1+x²)
分母求导=-1/x²
所以=x²/(1+x²)
所以极限=1
所以原来分母趋于-1+2=1
所以极限=-1

分子分母都趋于无穷大
可以用洛必达法则
则lim(x→+∞)e^x/x^n
=lim(x→+∞)e^x/nx^(n-1)
=lim(x→+∞)e^x/n(n-1)x^(n-2)
=……
=lim(x→+∞)e^x/n!
=+∞
所以极限不存在

limx→0 (1+x)^(1/x^3),
=limx→0 [(1+x)^(1/x)]^(1/x^2),
=limx→0 e^(1/x^2),
——》原式=limx→0 (1/x)/[e^(1/x^2)],(∞/∞型,洛必达法则求导)
=limx→0 (-1/x^2)/[e^(1/x^2)*(-2/x^3)]
=limx→0 x/[2*e^(1/x^2)]
=0/∞
=0.

嗯,太马虎了,是说自变量趋于无穷小,你看看题,人家是自变量趋近于派!

第一种方法有误！因为用过一次罗比达法则后，还是0/0不定型。应该再用一次。再取极限。答案就是0.与方法二相同。

汔必达定理是用来求极限的,高中很少用到.
例如：lim(x→0) ( sinx/x)=lim(x→0) (cosx/1) 分子、分母分别求导
=lim(x→0) 1 把0 代入
=1
适合于求0/0型及∞/∞型极限.
2012天津理压轴（2）可以用洛必塔法则.
2013天津理20（2）也可以利用洛必塔法则分析.

1) 可能求导出现错误
2）也可能确实分子非零,分母趋向0 ,结果是无穷

我们在计算简单的数学题的时候,加减乘除,乘方开方之类的就行了.
但是现实中的运动,没有真正简单的.
就那速度的计算来说吧,我们都知道,位移除以时间就是速度.但是这必须有个前提,速度一直是恒定的.也就是只有匀速直线运动,才能使用位移除以时间来就是速度.而不是匀速直线运动的运动,每时每刻的速度大小如何计算呢?这就需要用导数.速度----时间的函数是位移----时间函数的导函数.加速度----时间的函数是速度-----时间函数的导函数.力-----时间的函数是加速度-----时间函数的比例函数.反过来,位移----时间函数是速度----时间的函数的积分函数.速度-----时间函数是加速度----时间的函数的积分函数.
所以就机械运动而言,只有完全的、理想的匀速直线运动才可以不需要微积分.只要不是完全理想的状态,就只能用微积分来处理.所以微积分使得数学不仅仅适用于完全理想状态,而可以使用于不理想的现实运动了.
其他运动和变化也有类似问题.

最后的结果e^x/n!(x—+∞）所以结果为+∞

【罗必塔法则】
lim(x->0) [√(1-x^2)]^(1/x)
=lim(x->0) e^{ (1/x)ln[√(1-x^2)] }
=lim(x->0) e^{ 1/2 ln(1-x^2) /x }
= e^ { 1/2*lim(x->0)[ln(1-x^2)/x] }
罗必塔法则
= e^{ 1/2*lim(x->0) [(-2x)/(1-x^2) /1 ]}
= e^0
= 1
【重要极限其实更简洁】
lim(x->0) [(1-x^2)^(1/2)]^(1/x)
=lim(x->0) [1+(-x^2)]^(1/2x)
=lim(x->0) {[1+(-x^2)]^(-1/x^2)}^(-x/2)
= e^0
= 1

只能说你数学思维能力太差了,不懂得变通~
由于arcsinx~x(x->0)
于是左边=(x-arctanx)/x^k
用一次洛必达法则=(1-1/(1+x^2))/(k*x^(k-1))
1-1/(1+x^2)=x^2/(1+x^2)~x^2(x->0)
所以左边=x^2/(k*x^(k-1))=a
必然有k-1=2,所以k=3
又a=1/k,所以a=1/3

你要仔细看看变限积分求导公式.
不只是代入1/x就行的,这要看成复合函数求导,还要乘以(1/x)',

都行,无穷是正负无穷统称

当式子比较繁琐时有时洛必达未必能占到便宜,而且洛必达必须要求有连续一阶导.

an=f(n)
数列是特殊的函数
只取离散的自然数点
而使用洛必达法则的一个前提是函数可导,可导必连续
所以必须转化成连续型
f(n)→f(x),将自然数域扩展到实数域,使其连续

直接求导是可以的,不知道你学没学泰勒展开,把分子分母都化成泰勒级数的形式你会发现0/0和无穷比无穷其实是同样的情况

楼主没有图啊……
首先简单验证一下是0/0类型的,可以用洛必达
分子分母求导得
-sinx/(2xcosx)
当x->0时候 cosx=1
所以-sinx/(2xcosx) = -sinx/2x
再次用一次洛必达得出原式=-1/2
谢谢采纳

导数是不等于0,当x趋于0时,cosbx趋于1,分母的导数趋于b,因此存在一个去心邻域,使得（sinbx)'不等于0,满足条件啊.
三个条件：1、是0/0型的不定式（当然其他的也有对应的要求）
2、分子分母分别可以求导,且分母的导数不为0；
3、lim f'(x)/g'(x)有极限.
这三个条件的验证：1是必须验证的,2是容易验证的；只有3是稍微有点难得.
实际中就是不管3*7=21,尽管分子分母求导下去,直到做到某一步求出极限了,那么,根据定理,前面的等号就是成立,因为三个条件都满足啊.
这就是用洛必达法则得程序.比如上面的题,是0/0型,然后不管2*7=21,求导得
acosax/(bcosbx),到这一步已经出来极限了,是a/b,那么结果就出来了.
于是lim sinax/sinbx=lim acosax/bcosbx=a/b.这就是详细的做题过程.
这个不管2721是指你只管计算下去,知道最后计算出一个极限值.
只要中间的这些极限仍然是0/0型,或者到最后一步得到结果了,那么就可以这么做.

limh→0 [f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h^2，
=limh→0 [f'(x0+h)-f'(x0-h)]/2h，(洛必塔法则求导)
=limh→0 [f''(x0+h)+f''(x0-h)]/2，(继续洛必塔法则求导)
=f''(x0)。

本题应该是x→0+
lim [x→0+] x^sinx
=lim [x→0+] e^[sinxlnx]
=e^[lim (x→0+) sinxlnx]
等价无穷小代换
=e^[lim (x→0+) xlnx]
=e^[lim (x→0+) lnx/x^(-1)]
洛必达法则
=e^[lim (x→0+) -(1/x) / x^(-2)]
=e^[lim (x→0+) -x]
=e^0
=1
希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,

设a→∞,则假定lim(a→∞)f(a)=0
由柯西中值定理知：
[f(a)-f(x)]/[F(a)-F(x)]=fˊ(ε)/Fˊ(ε)
即f(x)/F(x)=fˊ(ε)/Fˊ(ε) (a

关于问题“当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大),那么x→a时lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大),同样适用于x→0”,
如果说,同样,成立“当x→0时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大),那么x→0时lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”,这句明显是对的；
如果说,同样,成立“当x→a时lim f(x)/F(x)=A(或为无穷大),那么x→0时lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”,这句就是错的.
关于把结论写成“x→a时 lim f'(x)/F'(x)=A”的问题,如果要这样写,应该写成“x→a时 lim f'(x)/F'(x)=A(或为无穷大)”是对的.其实在这种写法中,暗含着：“函数比的极限为某个数或无穷时,导函数之比的极限同样”的意思,所以洛必达法则的结论也写成“x→a时 lim f'(x)/F'(x)=x→0时 lim f(x)/F(x)”.两种写法只是形式不同,本质是相同的,即函数比的极限为某个数或无穷时,导函数之比的极限同样”.
关于洛必达法则的推导依据,在大一高等数学课程中有.

哪里是0/0型了啊,把x=1代入分子分母都不是0,答案应该等于-2吧

可以求的

[ 1 - sin(4x) ]^cot(x) = exp [ cot(x) * ln [ 1 - sin(4x) ] ] = exp [ ln [ 1 - sin(4x) ] / tan(x) ]
lim(x->0) [ ln [ 1 - sin(4x) ] / tan(x) ]
= lim(x->0) [ 1/ [ 1 - sin(4x) ] * (-4cos(4x)) / (1/cos(x)^2) ]
= -4
所以,原极限 = exp(-4)

a不为1时,分母趋于0,分子不趋于0,无极限.a＝1时,分子是0,极限是0