线性代数设 1 4 2 A= 0 -3 4 .求A^k.0 4 3用 矩阵相似对角形

|A-λE| =
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)[λ^2-25]
= (1-λ)(λ-5)(λ+5)
所以 A的特征值为 1,5,-5
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.
(A-5E)x=0 的基础解系为 a2=(1,1/2,1)^T.
(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-2,1)^T.
令P=(a1,a2,a3)=
1 1 1
0 1/2 -2
0 1 1
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,5,-5)
所以 A=Pdiag(1,5,-5)P^-1.
故有 A^k = Pdiag(1,5,-5)^kP^-1 = Pdiag(1,5^k,(-5)^k)P^-1 = (1/5)*
5 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k-5
0 4*(-5)^k + 5^k 2*5^k-2*(-5)^k
0 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k

这个就一个一个乘就好了，没有其他的办法，这矩阵不具有规律性。

，。。。。。

首先求出满足右式的可逆矩阵P和对角矩阵B：P^-1AP=B,然后，A^k=PB(P^-1P)B(P^-1P)B………(P^-1P)BP^-1=PB^kP^-1.(对角矩阵的k次方就是对它的每个对角元求k次方）