在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，切点分别为D、E．

∵AB是圆的切线，
∴OD⊥AB，即∠BDO=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠BOD=45°，
∴∠MND=[1/2]∠BOD=22.5°．
故答案是：22.5．

点评：
本题考点： 切线的性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理是关键．

（1）证明：连接OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线EF是半圆⊙O的切线；
（2）设FC=x，
∵AB=AC=4，BE=1，
∴AE=3，OD=2，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴[OD/AE]=[FO/FA]，即[2/3]=[x+2/x+4]，
解得x=2，
∴FA=FC+AC=2+4=6，
∴sin∠F=[AE/AF]=[3/6]=[1/2]．

点评：
本题考点： 切线的判定．

考点点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了锐角三角形函数和相似三角形的判定与性质．

（1）∵△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴S_△ABC=[1/2]AB•AC=[1/2]×4×4=8；

（2）∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．
设直线BD的函数关系式：y=kx+b，
得

b＝4
2k+b＝0，解得

b＝4
k＝−2．
∴直线BD的函数关系式：y=-2x+4；
（3）设M（a，-2a+4）．
分三种情况：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得a₁=0，a₂=[16/5]．
∴M₁（0，4），M₂（[16/5]，-[12/5]）；
②MC=AC．
∵MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得a₃=4，a₄=[4/5]，
∴M₃（4，-4），M₄（[4/5]，[12/5]）；
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，
∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，
解得a₅=2．
∴M₅（2，0），这时M₅点在AC上，构不成三角形，舍去．
综上所述，在直线BD上存在四点，即M₁（0，4），），M₂（[16/5]，-[12/5]），M₃（4，-4），M₄（[4/5]，[12/5]）符合题意．

点评：
本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式和两点间的距离公式等知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．

建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（[0+0+4/3]，[0+4+0/3]），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P₁（x，y），满足


a+x
2+
y+0
2＝4

y−0
x−a•(−1)＝−1，
解得

x＝4
y＝4−a，即P₁（4，4-a），易得P关于y轴的对称点P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四点共线，
直线QR的斜率为k=[4−a−0
4−(−a)=
4−a/4+a]，故直线QR的方程为y=[4−a/4+a]（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（[4/3]，[4/3]），代入化简可得3a²-4a=0，
解得a=[4/3]，或a=0（舍去），故P（[4/3]，0），故AP=[4/3]
故选D

点评：
本题考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程．

考点点评： 本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．

（Ⅰ）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．（2分）
∵BC＝2
2，∴OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．（4分）
∵OC⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（5分）
（Ⅱ）：由（Ⅰ）知OC⊥平面AOB，
∴OC⊥OB，OC⊥OD，
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角．（7分）
∵D为AB的中点，∴OD=2，BD=2，
又OB=2，∴∠DOB=60°，
∴二面角D-CO-B的大小为60°．（9分）
（Ⅲ）：∵OC⊥平面AOB，CD交平面AOB于D，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成角．（10分）
tan∠CDO=[OC/OD＝
2
OD]，据正切函数的单调性知，当OD最小时，∠CDO最大，
∴取OD⊥AB，OD=
3为最小值，此时，BD=1．（12分）
∴V_C-OBD=
1
3×
1
2×
3×1×2＝

3
3．
即CD与平面AOB所成角最大时，三棱锥C-OBD的体积为

3
3．（14分）

点评：
本题考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量和棱锥体积的求解，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．

连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴D为BC的中点，
又∵DE∥AB，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=[1/2]AB=[1/2]×4=2．

点评：
本题考点： 圆周角定理；平行线的性质；等腰三角形的性质．

考点点评： 本题重点考查了直径所对的圆周角为直角和中位线定理．

（1）AD=BD=CD，
理由是：∵AC=AB，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵△BAC中，∠CAB=90°，
∴AD=BD=DC=[1/2]BC；
（2）证明：∵AC=AB，AD⊥BD，∠CAB=90°，
∴AD⊥BC，∠FAD=∠DAB=∠B=∠C=45°，
∴∠ADB=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA=∠EDB=90°-∠ADE，
在△FDA和△EDB中


∠FAD＝∠B
AD＝BD
∠FDA＝∠EDB
∴△FDA≌△EDB，
∴DF=DE；
（3）当点E在AB的中点上时，△DEF的面积最小，
理由是：∵∠FDE=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴△DEF的面积是[1/2]×DE×DF=[1/2]×DE×DE，
即要使△DEF得面积最小，只要DE的值最小即可，
根据垂线段最短，过D作DE⊥AB于E，
∵∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∵CD=BD，
∴AE=BE（即E为AB的中点），
∴DE=[1/2]AC=2，
∴△DEF的面积的最小值是[1/2]×2×2=2，
即当点E在AB的中点上时，△DEF的面积最小，△DEF的面积的最小值是2．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，平行线性质的应用，综合性比较强，有一定的难度．

（1）取BC中点D，连接AD、PD；

在等腰三角形PBC、ABC中，PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA为二面角P-BC-A的平面角．（2分）
在等腰直角△ABC中，由AB=AC=4及AB⊥AC，得AD=2
2．
由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD．
在直角△PAD中，tan∠PDA=[PA/AD]=
5
2
4． （6分）
故二面角P-BC-A的大小为arctan
5
2
4． （8分）
（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．
∴该圆锥的体积V=[1/3×5×π×42=
80π
3]． （12分）

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查面面角，考查几何体体积的计算，正确确定面面角是解题的关键．