2222^5555+5555^2222是否能被7整除
cjl1312022-10-04 11:39:541条回答
2222^5555+5555^2222是否能被7整除
这道题我又好长时间没做出来,希望天才帮解答以下,越想越好
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- 赌坊703号 共回答了16个问题
|采纳率93.8% - 可以的.
把原式分两部分来看.
我们先求2222^5555除以7的余数.来看看2222的幂除以7的余数的规律:
2222的1次幂:余数是3,则2222=7a+3
2222的2次幂:2222^2=(7a+3)(7a+3)=7a^2+3*7a+3*7a+3*3,即其余数为3*3除以7的余数:2.即2222^2=7b+2.
2222的3次幂则等于(7b+2)(7a+3),其余数为2*3除以7的余数:6.
2222的4次幂则等于(7c+6)(7a+3),其余数为6*3除以7的余数:4.
2222的5次幂则等于(7d+4)(7a+3),其余数为4*3除以7的余数:5.
2222的6次幂则等于(7e+5)(7a+3),其余数为5*3除以7的余数:1.
2222的7次幂则等于(7f+1)(7a+3),其余数为1*3除以7的余数:3.
这时2222的幂除以7的余数已经开始6位循环了,即为
3,2,6,4,5,1
5555除以6余5,即2222^5555除以7的余数是上排的第5个:5.
再看5555^2222除以7的余数,用相同方法轻松得出其除以7的余数是3位循环:4,2,1.
2222除以3余数是2,即5555^2222除以7的余数是上排的第2个:2.
所以2222^5555+5555^2222=(7x+5)+(7y+2)=7x+7y+7,即可以被7整除. - 1年前
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|采纳率100%2222^5555+5555^2222
=(7*318-4)^5555+(7*793+4)^2222
=7M-4^5555+7N+4^2222 (展开二项式,只保留最后一项,前面的所有项都含有7*318或7*793都是7的倍数)
=7(M+N)-4^2222*4^3333+4^2222
=7(M+N)-4^2222(4^3333-1) (后面二项题取公因数)
=7(M+N)-4^2222((4^3)^1111-1)
=7(M+N)-4^2222(64^1111-1)
=7(M+N)-4^2222((7*9+1)^1111-1)
=7(M+N)-4^2222(7*9K+1^1111-1) (同上,二项式展开保留最后一项)
=7(M+N)-4^2222*7*9K
=7(M+N-4^2222*9K)
或:
把原式分两部分来看.
我们先求2222^5555除以7的余数.来看看2222的幂除以7的余数的规律:
2222的1次幂:余数是3,则2222=7a+3
2222的2次幂:2222^2=(7a+3)(7a+3)=7a^2+3*7a+3*7a+3*3,即其余数为3*3除以7的余数:2.即2222^2=7b+2.
2222的3次幂则等于(7b+2)(7a+3),其余数为2*3除以7的余数:6.
2222的4次幂则等于(7c+6)(7a+3),其余数为6*3除以7的余数:4.
2222的5次幂则等于(7d+4)(7a+3),其余数为4*3除以7的余数:5.
2222的6次幂则等于(7e+5)(7a+3),其余数为5*3除以7的余数:1.
2222的7次幂则等于(7f+1)(7a+3),其余数为1*3除以7的余数:3.
这时2222的幂除以7的余数已经开始6位循环了,即为
3,2,6,4,5,1
5555除以6余5,即2222^5555除以7的余数是上排的第5个:5.
再看5555^2222除以7的余数,用相同方法轻松得出其除以7的余数是3位循环:4,2,1.
2222除以3余数是2,即5555^2222除以7的余数是上排的第2个:2.
所以2222^5555+5555^2222=(7x+5)+(7y+2)=7x+7y+7,即可以被7整除.1年前查看全部
- 求证:7|(2222^5555+5555^2222)
zaq5201年前1
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Lexington 共回答了17个问题
|采纳率94.1%证明:
∵2222^5555+5555^2222=(22225)^1111+(55552)^1111
∵2222=7×317+3 ,
5555=7×793+4.
∴2222≡3 ( mod 7);
5555≡4 (mod 7).
∴2222^5≡3^5≡5(mod 7);
5555^2≡4^2≡2 (mod 7).
∴2222^5+5555^2≡5+2≡0 ( mod 7).
即2222^5≡-5555^2 (mod 7).
∴(2222^5)^1111≡(-5555^2)^1111≡-(5555^2)^1111 (mod 7).
∴2222^5555+5555^2222≡0 (mod 7).
∴7|(2222^5555+5555^2222)1年前查看全部
- 2222^5555+5555^2222≡_____(mod7)求最小值
建宁公子1年前1
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暮晚秋 共回答了18个问题
|采纳率88.9%2222≡3 mod7
5555≡4 mod7
2222^5555≡3^5555 mod7≡3^(3x+2) mod7
≡27^x* 9 mod7≡-9 mod7 ≡5 mod7
5555^2222≡4^2222 mod7≡4^(3x+2) mod7
≡64^x*16 mod7≡16 mod7 ≡2 mod7
所以
2222^5555+5555^2222 ≡ 0 mod 7
也可以这样
2222^5555+5555^2222
≡3^5555+4^2222 mod 7
≡(3^5)^1111 + (4^2)^1111 mod 7
≡5^1111 + 2^1111 mod 7
≡(-2)^1111+2^1111 mod 7
≡0 mod 71年前查看全部
大家在问
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