二阶微分方程 求稳态响应请问根据这个方程组求系统的稳态响应怎么做?要求过程拜托

U=dsolve('A*D2U+B*DU+C*U=K')
不谢

令t = dy/dx,dt/dx = d²y/dx²
dt/dx + √(1 - t²) = 0
dt/dx = - √(1 - t²)
dt/√(1 - t²) = - dx
arcsin(t) = - x + C₁
t = sin(C₁ - x)
dy/dx = sin(C₁ - x)
y = - cos(C₁ - x) • (-1) + C₂
y = cos(C₁ - x) + C₂
y = cos(x + C₁) + C₂

原式化为(y*y')=-2x 得y*y'=-x^2+c
y*dy=(-x^2+c)dx 后面的自己做吧.

y''=sinx+x^2
两边积分得
y'=-cosx+x^3/3+c
再两边积分得
y=-sinx+x^4/12+cx+C

∵y=f(x)上点(x,f(x))处得切线
∴切线方程是Y=f'(x)*X+f(x)-f'(x)*x
∴在y轴上的截距是f(x)-f'(x)*x
∵在y轴上的截距等于1/x*∫(0,x)f(t)dt
∴得微分方程f(x)-f'(x)*x=1/x*∫(0,x)f(t)dt
==>xf(x)-f'(x)*x²=∫(0,x)f(t)dt （两端同乘x）
==>x*f''(x)+f'(x)=0 (两端对x求导数,并整理)
==>d(f'(x))/f'(x)=-dx/x
==>ln│f'(x)│=-ln│x│+ln│C1│ (C1是积分常数)
==>f'(x)=C1/x
==>f(x)=C1ln│x│+C2 (C2是积分常数)
故f(x)=C1ln│x│+C2 (C1,C2是积分常数).

令y′＝p,则：y″＝dp/dx,∴原微分方程可变成：dp/dx＝1＋p^2,∴［1/（1＋p^2）］dp＝dx,
∴∫［1/（1＋p^2）］dp＝∫dx,∴arctanp＝x＋C,∴p＝tan（x＋C）,∴y′＝tan（x＋C）,
∴y＝∫tan（x＋C）dx＝∫tan（x＋C）d（x＋C）＝－ln｜cos（x＋C）｜＋C1.
∴原微分方程的通解是：y＝C1－ln｜cos（x＋C）｜,其中C、C1都是任意常数.

希望看过后对你有帮助
数学基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 , 互异性 , 无序性 .
集合元素的互异性：如： , ,求 ；
（2）集合与元素的关系用符号 , 表示.
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 .
（4）集合的表示法： 列举法 , 描述法 , 韦恩图 .
注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合.（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
注意：条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况.
如： ,如果 ,求 的取值.
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 .
（2） ； ；
（3）对于任意集合 ,则：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 为偶数,则 ；若 为奇数,则 ；
②若 被3除余0,则 ；若 被3除余1,则 ；若 被3除余2,则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合 中有 个元素,则集合 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 .
（2） 中元素的个数的计算公式为： ；
（3）韦恩图的运用：
四、 满足条件 , 满足条件 ,
若 ；则 是 的充分非必要条件 ；
若 ；则 是 的必要非充分条件 ；
若 ；则 是 的充要条件 ；
若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；
五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若 ,则 ”在解题中的运用,
如：“ ”是“ ”的 条件.
六、反证法：当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立,
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若 , ；问： 到 的映射有 个, 到 的映射有 个； 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个.
函数 的图象与直线 交点的个数为 个.
二、函数的三要素： , , .
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
① ,则 ； ② 则 ；
③ ,则 ； ④如： ,则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数 的定义域是 ,求 的定义域.
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ；定义域为 .
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围；常用来解,型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ,利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.
⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.
求下列函数的值域：① （2种方法）；
② （2种方法）；③ （2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言.
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法.
应用：比较大小,证明不等式,解不等式.
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系.f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x) f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数.
判别方法：定义法, 图像法 ,复合函数法
应用：把函数值进行转化求解.
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律.
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考）
平移变换 y=f(x)→y=f(x a),y=f(x) b
注意：（ⅰ）有系数,要先提取系数.如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象.
（ⅱ）会结合向量的平移,理解按照向量 （m,n）平移的意义.
对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称.（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx φ)具体参照三角函数的图象变换.
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
如： 的图象如图,作出下列函数图象：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） .
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择；②将 互换,得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）.
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数,它一定不存在反函数.
如：求下列函数的反函数： ； ；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数： ,当 时,是增函数；当 时,是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；
顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法,化为 的形式,
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则
时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定,区间也固定.如：
(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.
(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：
根的情况
等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根
充要条件
注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得出结果,在令 和 检查端点的情况.
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； .
指数函数：y= (a

　　高等数学中,二阶微分方程只有几种缺项的情形是可以降阶的,如 y"=f(y,y'),缺 x 项,教材上有介绍专门的的解法：记 p=y'=dy/dx,则
　　　　y" = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = p(dp/dy),
代入方程,得
　　　　p(dp/dy) = f(y,p),
（降阶了）是一阶微分方程,例子请在教材上找……

特征方程
r^2-6r+9=0
r=3(二重根)
非齐次通解y=(C1+C2x)e^x
观察得非齐次特解是y=2/3
所以通解是y=(C1+C2x)e^x+2/3

y'=p.两边对x求导,y看成中间变量
y''=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy

前面那位的解答简捷灵活.下面给出另一解法：
这是不显含未知函数y的微分方程,属于可降阶的高阶微分方程.
这类方程的常规解法是：令y'=p,则y"=p',方程化为 xp'+p=0,
即 dp/p=-dx/x 【一阶可分离变量方程】
解得 p=C(1)/x
即 y'=C(1)/x
所以 y=C（1）In|x|+C（2）.

ode45
方程最好还是化简一下

是的

两边积分：∫[根号下（c^2乖以y^2-1）]=∫（dy/dx）－－这一步很有问题
应该是对dx=dy/根号(c²y²-1)的两边积分
∫dx=∫dy/根号(c²y²-1))
x+C=(1/c)∫d(cy)/根号((cy)²-1))
x+C=(1/c)ln|cy+根号(c²y²-1)|
1/c是换元的时候d(cy)=cdy,所以乘以一个1/c而产生的

这是y''=f(x,y')型的微分方程,令p=y'则dp/dx=y'',带回方程并分离变量得dp/(1+p^2)^(1/2)=dx/a,两边积分得arshp=x/a+C

特征方程为r^2+1=0,得r=i,-i
则齐次方程通解y1=C1e^ix+C2e^(-ix)
设特解为y*=(ax+b)e^2xi
y*'=(a+2iax+2bi)e^2xi
y*"=(4ia-4ax-4b)e^2xi
代入方程：(4ia-4ax-4b)+(ax+b)=x
比较系数：-3a=1,4ia-3b=0
解得a=-1/3,b=-4i/9
因此方程的通解为y=y1+y*=C1e^ix+C2e^(-ix)-(x/3+4i/9)e^(2ix)

先把方程化为一阶的,然后利用ode45等函数进行求解,自己试一下,如果还有疑问再说.

一道是 y''+9y=2cos3x 由于3i是单根,故设的特解是x（acos3x+bsin3x）
第二道是 y’’+y+sin2x=0 2不是根,且缺y' 故设的特解是 Asin2x(当缺y'时,sinkx的二阶导数还有sinkx,不会出现coskx)

继续输入:
ezplot(y,[0,2]) % t∈[0,2]时的图像.
就出来了.想要得到某一点的y的值,输入
subs(y,'t',1) 就得到t=1时的y的值.

初值要确定 假设a=b=c=d=1; 结果为：

f1和f2要构成通解，必须满足f2/f1不为常数。
充分性：(f2/f1)'=(f1f2'-f2f1')/f1^2,由于f1f2'-f2f1'不等于0，则(f2/f1)'不恒为0，故f2/f1不恒为常数，则f2和f1线性无关，可以构成通解。
必要性：f1和f2构成此微分方程的通解，则f2/f1不恒为常数，所以(f2/f1)'不恒为0，则f1f2'-f2f1'不等于0。
证明完毕

要求电流电压关系,你列关于电荷的微分方程干嘛?怎么想也是列电流电压的微分方程吧.
知道拉氏变换还不知道用相量法?况且激励还是余弦函数.变换到复数域后的电容电感的复阻抗分别是1/jωC、jωL.RLC串联电路的端口总阻抗就是R+1/jωC+jωL.
计算出各元件电流电压的相量值后,变换成余弦函数的形式即可.

顺便一提,相量法就是为了避免激励是余弦函数并含有储能元件的电路出现微分方程的情况,与复频域分析方法是相对应的.

ode45可以求解

function Myexamp1
clear,clc,
tspan = [0 20]; % t 的取值范围
y0=[0;1]; % 初始值 y(t0) 和 y'(t0)
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4]);
[t,y] = ode45(@fun,tspan,y0 ,options);
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.')
title('y''(t)= -3 cos(2t) +2sin(t)+ t-3.8')
function dy = fun(t,y)
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = -3-cos(2*t) + 2*sin(t)+t-3.8;

1.求4y''-4y'=-1的通解.
∵齐次方程4y''-4y'=0的特征方程是4r²-4r=0,则r1=1,r2=0
∴齐次方程4y''-4y'=0的通解是y=C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)
于是,设原方程的解为y=Ax,代入原方程得
-4A=-1 ==>A=1/4
即原方程的一个解是y=x/4
故原方程的通解是y=C1e^x+C2+x/4 (C1,C2是积分常数).
2.求y''+y'-2y=-4x的一个特解.
设原方程的解是y=Ax+B,代入原方程得
A-2(Ax+B)=-4x ==>-2A=-4,A-2B=0
==>A=2,B=1
故原方程的一个特解是y=2x+1.

用待定系数法
e^x对应y=Cxe^x （因为通解就有e^x）
1对应y=C
e^x(cos2x)对应y=e^x(Acos2x+Bsin2x)
然后带入求C
y=Cxe^x
y'=C(x+1)e^x
y''=C(x+2)e^x
y''-3y'+2y=-Ce^x=e^x
C=-1
y=-xe^x
y=C
C''-3C'+2C=1
C=1/2
y=e^x(Acos2x+Bsin2x)
y'=e^x((A+2B)cos2x+(B-2A)sin2x)
y''=e^x((A+2B+2B-4A)cos2x+(B-2A-2A-4B)sin2x)
=e^x((4B-3A)cos2x+(-4A-3B)sin2x)
y''-3y'+2y=e^x((4B-3A-3A-6B+2A)cos2x+(-4A-3B-3B+6A+2B)sin2x)
=e^x((-4A-2B)cos2x+(2A-4B)sin2x)
=e^x(cos2x)
-4A-2B=1
2A-4B=0
-10B=1
B=-1/10
A=-1/5
即
y=e^x(-cos2x/5-sin2x/10)
加一起
特解y=-xe^x+1/2+e^x(-(cos2x)/5-(sin2x)/10)

没什么可说的,是可以解得.其实高阶微分方程式可以转化成一节微分方程组来解得,matlab中就是这么个原理.

d2x=d(dx) dt2=dt×dt
dx=x`dt
d2x=d(dx)=d(x`dt)=dx`dt+x`d(dt)=x''(dt)2+0=x''dt2
对自变量t的微元dt认为是常数故
d（dt）=0

y''=dy'/dx=(dy'/dy)(dy/dx)=y'dy'/dxy'dy'/dx=√(1+y'^2)d√(1+y'^2)=dxx+C=√(1+y'^2)x^2+2Cx+C^2=1+y'^2y'=√(x^2+2Cx+C^2-1) 或 y'=-√(x^2+2Cx+C^2-1)y=∫√(x^2+2Cx+C^2-1)dx ...

1反常积分 improper integral
2高阶导数higher (order) derivative
3微分中值定理 The Differential Mean-value Theorem
4函数的单调性 monotonicity of a function
5渐近线 asymptote
6一阶微分方程 first-order differential equation (differential equation of first order);
二阶微分方程second-order differential equation
7常数项级数 Constant Series
8正项级数 positive series
9幂级数powder series
10偏导数 partial derivative
11全微分 total differential

syms E x y
>> y=dsolve('E*y+6.626e-34/8/pi^2/1.66e-27*D2y=0','x')
y =
C2*cos((100000000000000000000*pi*498945783132530120481927710843373^(1/2)*x*exp(1/2))/498945783132530120481927710843373) + C3*sin((100000000000000000000*pi*498945783132530120481927710843373^(1/2)*x*exp(1/2))/498945783132530120481927710843373)
>> vpa(y)
ans =
C2*cos(23188.381421487632207604131471235*x) + C3*sin(23188.381421487632207604131471235*x)
方程的解中含两个常数C2,C3,而没有C1,说明C1和E被某个数,C2或C3,替换了

令p=dy/dx, 则d^2y/dx^2=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
代入原方程： pdp/dy=Acosy
即pdp=Acosydy
积分：p^2/2=Asiny+C1
得：p=±√[2Asiny+C]
dy/√[2Asiny+C]=±dx
积分得：∫dy/√[2Asiny+C]=±x+C1

不用降阶啊
直接解
带入特征方程
mx^2+k^2x=0
得x=-k^2/m
s(t)=e^-k^2/mt+mgt

@可降阶的二阶微分方程
1,y''=f(x)型的微分方程
此类方程特点是 方程右端仅含有自变量x,只需积分两次便可得到方程的通解.
2,y''=f(x,y')型的微分方程
此类方程特点是 方程右端不显含未知函数y.
作变量代换y'=P（x）
3,2,y''=f(y,y')型的微分方程
此类方程特点是 方程右端不显含自变量x.
作变量代换y'=P（y）
适当运用换元法简化微分方程,方便计算.
@二阶常系数线性微分方程
y''+a1y'+a2y=f(x) （a1,a2为常数）
当f(x)为多项式,P(x)e^(ax),P(x)e^(ax)cosbx,P(x)e^(ax)sinbx,(a,b为实数)
可运用特征方程求特征根解得~
@一般二阶线性微分方程
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解的叠加原理
常数变易法,（刘威尔公式）

令p=y'
pp'+Ap+By+C=0 变成了p关于自变量y的微分方程
p'+A=-(By+C)/p
变成一阶微分方程
解出他,然后带回变量到y关于x的函数即可
通解应该是y=(c1+c2x)(e^x)

先看特征根：
t^2-t=0,得t=0, 1
因此通解形式为y1=C1+C2e^x
因为右边e^x是通解形式中的一项,所以前面的多项式要高一次,设y*=x(ax+b)e^x
y*'=(ax^2+bx+2ax+b)e^x
y*"=(ax^2+bx+4ax+2b+2a)e^x
代入原方程：
(ax^2+bx+4ax+2b+2a)-(ax^2+bx+2ax+b)=4x
2ax+(b+2a)=4x
2a=4, b+2a=0
得a=2, b=-4

首先你要知道二阶微分方程的通解形式有两种（我指的实根）,当没重根时y=c1e^(ax)+c2e^(bx),a.b为两个不同根.有重根时y=(c1+c2x)e^ax,a为重跟.这根是怎么来的呢?就是把微分方程变成关于x的一元二次方程,解出来得到的根,比如你给的方程就变成mx^2+kx=0解出来就行了

常微分的话就套公式
偏微风就不知道了

y=dsolve('a1*D2y+a2*Dy=a','x')
y =
C3/exp((a2*x)/a1) - (C2 + a*a1 - a*a2*x)/a2^2

这种缺少x的方程解法是化为y的微分方程：
p=y'
y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
方程化为：y pdp/dy-2yplny-p^2=0
即ydp/dy-2ylny-p=0
dp/dy-p/y=2lny
这就化成了一阶微分方程了,可用公式解法：
∫-1/y dy=-lny ,
∫2lny*e^(-lny)dy=2∫lny*1/y dy=2∫lny d(lny)=(lny)^2
所以解为p=[(lny)^2+C]e^(lny)=[(lny)^2+C]y
即dy/[lny)^2+C]y=dx
即d(lny)/[(lny)^2+C]=dx,
两边积分,根据c的符号得：
c>0时,有1/√c*arctan(lny/√c)=x+c2
c=0时,有-1/lny=x+c2
c

答：
2lnp=lnx+C
ln(p^2)=ln(C1x)
p^2=C1x
y'=p=√(C1x)
y=(2/3)C1*x^(3/2)+C2

4. 继续： y ' = tan(x+C1)
=> y = - ln| cos(x+C1)| + C2
10. 继续：1+1/p^2=e^(-2x-2C1)
=> p = 1/ [ e^(-2x-2C1) - 1 ]^(1/2)
=> y ' = e^(x+C1) / [ 1 - e^(2x+2C1) ]^(1/2)
=> y = arcsin[ e^(x+C1)] + C2
两题的结果都与书上一致.不过 10. 如果选用你所说的方法,积分过程会简单的多.
但是通常这样的题目选择设 y ' = p(x) 居多.

假设a=b=c=1
dsolve('D2x+x-sin(t)')

ans =

(3*sin(t))/8 - sin(3*t)/8 - cos(t)*(t/2 - sin(2*t)/4) + C2*cos(t) + C3*sin(t)

画图的有初值没有初值
C2 C3无法确定,无法画图

解方程m^2+m+1=0得m1=w,m2=w^2这里w为1的三次方根w=-1/2+i√3/2
所以x''+x'+x=0的通解为
x=c1e^(m1t)+c2e^(m2t)
x''+x'+x=1的一个特解为x=1所以这个二阶微分方程的解为
x=c1e^(m1t)+c2e^(m2t)+1
注意到e^(wt)=e^(-t/2)[cos(t√3/2)+isin(t√3/2)]
所以x=c1*e^(-t/2)[cos(t√3/2)+isin(t√3/2)]
+c2*e^(-t/2)[cos(t√3/2)-isin(t√3/2)]
+1
把x(0)=x'(0)=0代入得
c1+c2=-1;
c1w+c2w^2=-1;
解得c1=1/(1-w),c2=-1-1/(1-w)代入前面式子中可以得到结果