X的不等式AX2+BX+C大于0的解集为{X|1大于X大于5},解X的不等式CX2+BX+A大于0的解集

∵ax²+bx+c＞0的解为-[1/4]＜x＜[1/3]，
∴a＜0且-[b/a]=-[1/4]+[1/3]=[1/12]，
[c/a]=-[1/4]×[1/3]=-[1/12]，
∴[c/b]=1，
∵-[b/a]=[1/12]，a＜0，
∴b＞0，
∵[c/b]=1，[a/b]=-12，
∴y=bx²+cx+a与x轴的两个交点为（-3，0），（4，0），
∴bx²+cx+a＜0的x的取值范围是-3＜x＜4．

点评：
本题考点： 二次函数与不等式（组）．

考点点评： 本题考查了二次函数与不等式，主要利用了根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟记根与系数的关系是解题的关键．

∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴α+β＝−
b
a，α•β＝
c
a．
∴不等式cx²-bx+a＞0化为[c/ax2−
b
ax+1＜0，
∴α•βx²+（α+β）x+1＜0，
化为（αx+1）（βx+1）＜0，
∵0＜α＜β，∴−
1
α＜−
1
β]．
∴−
1
α＜x＜−
1
β．
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|−
1
α＜x＜−
1
β}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），
可得

a−b+c＝0
4a+2b+c＝0并且a＜0
a=-b，-2a=c代入不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax
化为x²-3x＜0 可得{x|0＜x＜3}，
故选C．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题主要考查了一元二次不等式的应用，考查计算能力，逻辑思维能力，属于基础题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜−2，或x＞−
1
2}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的两根为x=-2，x=-[1/2]；
∴由根与系数的关系得：（-2）+（-[1/2]）=-[b/a]，（-2）×（-[1/2]）=[c/a]，
即[b/a]=[5/2]，[c/a]=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0
可化为x²-[b/a]x+[c/a]＜0，
即x²-[5/2]x+1＜0，
解得[1/2]＜x＜2，
∴所求不等式的解集为{x|[1/2]＜x＜2}；
故选：C．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的实数根之间的关系，是基础题．

由不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|-1得到ax²+bx+c=0的两解为-1和2，且a<0，
根据韦达定理得：-[b/a]=-1+2=1，[c/a]=-2，即b=-a，c=-2a，
则不等式[2a+b/x+c>b|x|可化为：
a
x]-2a>-a|x|，即[1/x]-2+|x|<0，
当x<0时，不等式化为：[1/x]-2-x<0，
去分母得：x²+2x-1<0，即（x+1-
2）（x+1+
2）<0，
解得：-1-
22，
则原不等式的解集为：-1-
2当x>0时，不等式化为：[1/x]-2+x<0，
去分母得：x²-2x+1<0，即（x-1）²<0，无解，
综上，原不等式的解集为{x|-1-
2故答案为：{x|-1-
2

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查学生灵活运用韦达定理化简求值，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．

∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-2，1），
∴-2，1是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根，且a＜0．
∴−2+1＝−
b
a，−2×1＝
c
a，
化为[b/a]=1，[c/a]=-2．
∴不等式ax²+（a+b）x+c-a＜0化为 x2+(1+
b
a)x+
c
a-1＞0，
代入可得x²+（1+1）x-2-1＞0，即x²+2x-3＞0，
解得1＜x，或x＜-3．
∴不等式ax²+（a+b）x+c-a＜0的解集为{x|1＜x，或x＜-3}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于基础题．

根据题意，M={a，b，c}⊆{-5，-4，-2，1，4}，
则集合M的情况有C₅³=10种，
其中①、当a=1、b=-2、c=4时，有b²=4ac，不等式ax²+bx+c＜0无解，不合题意，
②、当a=1、b=-4、c=4时，有b²=4ac，不等式ax²+bx+c＜0无解，不合题意，
共2种情况，
则不等式ax²+bx+c＜0恒有实数解的情况有10-2=8．
故选：C．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用；集合的包含关系判断及应用．

考点点评： 本题考查计数原理的运用，关键是对于不等式ax2+bx+c＜0恒有实数解的理解．

由题意可知：a＜0，①错误
-2，[1/2]是ax²+bx+c=0的二根，∴−
b
a＝−2+
1
2＝−
3
2，∴b＜0，∴②错误
又−2•
1
2＝
c
a＜0，∴c＞0③正确
令f（x）=ax²+bx+c，由题意可知f（-1）=a-b+c＞0④正确；
f（1）=a+b+c＜0，∴⑤a+b+c＞0错误；
故答案为：③④

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题考查一元二次不等式的应用，着重考查三个“二次”（二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），一元二次不等式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）））之间的关系，属于中档题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜−2，或x＞−
1
2}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的两根为x=-2，x=-[1/2]；
∴由根与系数的关系得：（-2）+（-[1/2]）=-[b/a]，（-2）×（-[1/2]）=[c/a]，
即[b/a]=[5/2]，[c/a]=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0
可化为x²-[b/a]x+[c/a]＜0，
即x²-[5/2]x+1＜0，
解得[1/2]＜x＜2，
∴所求不等式的解集为{x|[1/2]＜x＜2}；
故选：C．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的实数根之间的关系，是基础题．

∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴α+β＝−
b
a，α•β＝
c
a．
∴不等式cx²-bx+a＞0化为[c/ax2−
b
ax+1＜0，
∴α•βx²+（α+β）x+1＜0，
化为（αx+1）（βx+1）＜0，
∵0＜α＜β，∴−
1
α＜−
1
β]．
∴−
1
α＜x＜−
1
β．
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|−
1
α＜x＜−
1
β}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜−2，或x＞−
1
2}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的两根为x=-2，x=-[1/2]；
∴由根与系数的关系得：（-2）+（-[1/2]）=-[b/a]，（-2）×（-[1/2]）=[c/a]，
即[b/a]=[5/2]，[c/a]=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0
可化为x²-[b/a]x+[c/a]＜0，
即x²-[5/2]x+1＜0，
解得[1/2]＜x＜2，
∴所求不等式的解集为{x|[1/2]＜x＜2}；
故选：C．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的实数根之间的关系，是基础题．

（A组）∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），
∴-1和2为方程ax²+bx+c＞0的两个实根，且a＜0，
由韦达定理可得

−1+2＝−
b
a
−1×2＝
c
a，解得

b＝−a
c＝−2a，
故不等式cx²+bx+a＜0可化为-2ax²-ax+a＜0，（a＜0）
即2x²+x-1＜0，故（x+1）（2x-1）＜0，
解得-1＜x＜[1/2]，故解集为{x|-1＜x＜[1/2]}；
（B组）∵关于x的不等式ax²+bx+2＞0的解集为（-1，2），
∴-1和2为方程ax²+bx+2=0的两个实根，且a＜0，
由韦达定理可得

−1+2＝−
b
a
−1×2＝
2
a，解得

a＝−1
b＝1，
故a+b=0，
故答案为：{x|-1＜x＜[1/2]}，0

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查一元二次不等式的解集，注意和二次方程的根的关系是解决问题的关键，属基础题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜−2，或x＞−
1
2}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的两根为x=-2，x=-[1/2]；
∴由根与系数的关系得：（-2）+（-[1/2]）=-[b/a]，（-2）×（-[1/2]）=[c/a]，
即[b/a]=[5/2]，[c/a]=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0
可化为x²-[b/a]x+[c/a]＜0，
即x²-[5/2]x+1＜0，
解得[1/2]＜x＜2，
∴所求不等式的解集为{x|[1/2]＜x＜2}；
故选：C．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的实数根之间的关系，是基础题．

由x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是(-∞，
1
2)∪(2，+∞)，得出：


a＞0
2+
1
2=-
b
a
2•
1
2=-
c
a
∴

a＞0
b=-
5
2a
c=a
∴ax2+
5
2ax+a≤0
∴x2+
5
2x+1≤0，
即x∈[-2，
1
2]．
则不等式ax²-bx+c≤0的解集为：x∈[-2，
1
2]．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用；一元二次不等式与一元二次方程．

考点点评： 考查学生解不等式的能力，以及不等式的应用能力，解答关键是应用一元二次不等式与一元二次方程的关系解决问题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），
∴

−1+2＝−
b
a
(−1)×2＝
c
a，且a＜0
∴b=-a，c=-2a
∴不等式ax²-bx+c＞0可化为ax²+ax-2a＞0
∴x²+x-2＜0
∴-2＜x＜1
故答案为：（-2，1）

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题主要考查一元二次不等式与二次方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集为{x|x＜−2，或x＞−
1
2}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的两根为x=-2，x=-[1/2]；
∴由根与系数的关系得：（-2）+（-[1/2]）=-[b/a]，（-2）×（-[1/2]）=[c/a]，
即[b/a]=[5/2]，[c/a]=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0
可化为x²-[b/a]x+[c/a]＜0，
即x²-[5/2]x+1＜0，
解得[1/2]＜x＜2，
∴所求不等式的解集为{x|[1/2]＜x＜2}；
故选：C．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的实数根之间的关系，是基础题．

∵不等式ax²+bx+c≥0的解集[-1，3]，
∴

−
b
a＝−1+3



c
a＝−1×3
a＜0 ，则

b＝−2a


c＝−3a
a＜0
∵函数f(x)＝−
1
6bx3+ax2+cx+m，
∴f′（x）=-[1/2]bx²+2ax+c=ax²+2ax-3a=a（x-1）（x+3），
令f′（x）＞0，解得-3＜x＜1，
∴函数f(x)＝−
1
6bx3+ax2+cx+m单调递增区间为：（-3，1）
故答案为：C

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查函数极值点和单调性与函数的导数之间的关系．属基础题．

由不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，
得到ax²+bx+c=0的两解为-1和2，且a＜0，
根据韦达定理得：-
b
a]=-1+2=1，[c/a]=-2，即b=-a，c=-2a，
则不等式[2a+b/x+c＞b|x|可化为：
a
x]-2a＞-a|x|，即[1/x]-2+|x|＜0，
当x＜0时，不等式化为：[1/x]-2-x＜0，
去分母得：x²+2x-1＜0，即（x+1-
2）（x+1+
2）＜0，
解得：-1-
2＜x＜-1+
2，
则原不等式的解集为：-1-
2＜x＜0；
当x＞0时，不等式化为：[1/x]-2+x＜0，
去分母得：x²-2x+1＜0，即（x-1）²＜0，无解，
综上，原不等式的解集为{x|-1-
2＜x＜0}．
故答案为：{x|-1-

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查学生灵活运用韦达定理化简求值，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．

∵不等式ax²+bx+c＞0的解集是{x|-1＜x＜3}，
∴ax²+bx+c=0的根为3、-1，
即3-2=−
b
a
-3×1=[c/a]
解得b=-a，c=-3a
则不等式ax²+bx+c＞1可化为：
ax²-ax-3a-1＞0
∴

a＜0
a 2+4a(3a+1)≤0
解得 −
1
4≤a＜0
故答案为：−
1
4≤a＜0

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a，b，c的关系，是解答本题的关键．

∵-（x-2）（x-4）＞0，即-x²+6x-8＞0的解集为 {x|2＜x＜4}，
∴不妨假设a=-1，b=6，c=-8，则不等式cx²+bx+a＜0，即-8x²+6x-1＜0，即 8x² -6x+1＞0
解得它的解集：{x|x＜[1/4]，或x＞[1/2]}．
故答案为：{x|x＜[1/4]，或x＞[1/2]}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查一元二次不等式的解法，要联系对应的二次函数的图象特点，属于基础题．