△ABC中,BD是角ABC的角平分线,交AC于点D,BD=DC=4,AE⊥BD,已知AB=2AE,求AD的长度

证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
（2）因为△ABE∽△ADC，
所以[AB/AE＝
AD
AC]，
即AB•AC=AD•AE．
又S=[1/2]AB•ACsin∠BAC，
且S=[1/2]AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．

点评：
本题考点： 圆內接多边形的性质与判定．

考点点评： 相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．

（1）解法一：作直线EM交AB于点F，交AC的延长线于点G．（见图1）
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵ME⊥AD，
∴∠AEF=∠AEG=90°
∴∠3=∠G．
∵∠3=∠B+∠DME，
∴∠ACB=∠G+∠GMC=∠G+∠DME，
∴∠B+∠DME=∠ACB-∠DME．
∴∠DME=[1/2]（∠ACB-∠B）=[α/2]；（2分）
解法二：如图2（不添加辅助线），
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵ME⊥AD，
∴∠DEM=90°，∠ADC+∠DME=90°．
∵∠ADB=∠2+∠C=90°+∠DME，
∴∠DME=∠2+∠C-90°．
∵∠ADC=∠1+∠B，
∴∠1=∠ADC-∠B．
∴∠DME=∠1+∠C-90°=（∠ADC-∠B）+∠C-90°
=∠C-∠B-（90°-∠ADC）=∠C-∠B-∠DME
∴∠DME=[1/2]（∠C-∠B）=[α/2]；（2分）

（2）如图3和图4，点M在射线BC上运动（不与点D重合）时，∠DME的大小不变．（点M运动到点B和点C时同理）
证法一：设点M运动到M′，过点M′作M′E′⊥AD于点E′
∵M′E′⊥AD，
∴ME∥M′E′．
∴∠DM′E′=∠DME=[α/2]．（4分）
证法二：图3与图4中分别与第（1）问同理可证．

点评：
本题考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质．

考点点评： 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

（1）由AF平分∠CAB，CD⊥AB，FH⊥AB，可推出∠CFE=∠CEF，从而证得CF=CE．
由FH⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠BAC，可得CF=FH，
∴CE=FH，
又∵EG∥AB，
∴∠CGE=∠B，∠CEG=∠FHB．可推得△GEC≌△BHF．
推出CG=FB．
∴CF=BG．
（2）由（1）证明可知CE

∥
.
.FH．
∴CFHE为平行四边形，
又∵CF=FH，
∴CFHE是菱形．

点评：
本题考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 掌握全等三角形的性质及判定，能够熟练运用菱形的性质，掌握菱形的判定．

∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBC=[1/2]∠ABC=30°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=30°，
在△BDE中，∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=120°．

点评：
本题考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．

考点点评： 此题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识．