圆系与直线系方程的原理为什么如此联立可以表示所有的圆和直线?比如过圆与直线交点的圆系：设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F

把方程化为：（20-4x+2y)a=20-x^2-y^2
当：20-4x+2y=0且20-x^2-y^2=0时,与a的取值无关
解得x=(20±4√10)/3,y=(10±8√10)/3
所以过((20+4√10)/3,(10+8√10)/3),((20-4√10)/3,(10-8√10)/3)
可能计算有误,但方法对,希望你能接受

首先对圆系C的方程右边化简一下得
圆系C:(X－t)^2+(y-t)^2=t^4+1/4 (t属于R),
可见圆系C是一个以（t,t）为圆心,根号下（t^4+1/4）为半径的圆.
①必然错误,因为圆心的坐标是(t,t),故圆心的曲线是落在y＝x上
②M、N是圆在X轴上的交点,故在圆的方程中令y＝0,求解x可得
x1＝t^2+t-1/2 x2=-t^2+t+1/2
可见x1-x2并不为定值1,故此结论是错误.
③题目的意思是把y＝1/2代入圆系方程,则无论t取任何值x只有一解
(X－t)^2+(1/2-t)^2=t^4+1/4
X^2-2tx+t^2+t^2-t+1/4=t^4+1/4
x^2-2tx+(-t^4+2t^2-t)=0
根据二次方程的根判别式＝0方程仅有一解来判断,知此方程的解并不唯一
故此结论是错误
④题目中没有说明A点和B点在什么位置,无法判断.

化为标准方程[x-(2m+1)]^2+(y-m)^2=m^2,圆心(2m+1,m)
显然(2m+1,0)都在圆上,而且点(2m+1,m)和点(2m+1,0)所在的直线为
x=2m+1,与x轴垂直,所以x轴是圆的切线,又由于直线y=0(x轴)与m无关,所以y=0就是与每个圆都相切的直线

说下我对圆系的理解,在这道题目里圆系是所有过已知两圆的交点的圆构成的集合.
下面说明这样假设的道理何在?
我们假设的圆系方程为：
x^2+y^2-1+λ(x^2+y^2+2x)=0 (1）
假设两圆交点A(x1,y1),B(x2,y2)
则(1)式必定经过A,B两点
理由如下：
因为A,B为两圆交点,故A,B满足两圆方程.
就拿点A来说,
(x1)^2+(y1)^2=1
(x1)^2+(y1)^2=2x1
整理得:
(x1)^2+(y1)^2-1=0 (2)
(x1)^2+(y1)^2-2x1=0 (3)
显然A点也满足方程（1）（ (2)+λ(3))
B点同理可得满足方程（1）
因为圆系里的圆有无穷多个,必须加上某些限制条件才能确定所求圆的方程,此题把A点坐标代入方程（1）就可以了（据此解出λ）.

1,2a(2y-x)+x^2+y^2-5=0
2y-x=0,x^2+y^2-5=0
x=2y
5y^2=5
y^2=1
y=1,x=2
y=-1.x=-2
(2.1),(-2,-1)
2,(x-a)^2+(y+2a)^2=5a^2+5
(a,-
2a)
x=a.y=-2a=-2x

假设对称圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
x^2+y^2-2x-1=0
(D+2)x+Ey+F-1=0
直线是2x-y+3=0
(D+2)/2=E/-1=(F-1)/3
解得D=6 E=-4 F=13
所以方程为x^2+y^2+6x-4y+13=0
我用的方法和楼主方法一样,可以求出来啊
过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为：
x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F1＋a（Ax+By+C)=0
x^2+y^2-2x-1+a(2x-y+3)=0
x^2-2x+2ax+y^2-ay-1+3a=0
x^2-2(1-a)x+(1-a)^2+y^2-ay+a^2/4-(1-a)^2-a^2/4+3a-1=0
(x-(1-a))^2+(y-a/2)^2=1-3a+a^2/4+(1-a)^2
1-3a+a^2/4+(1-a)^2=2
-12a+a^2+4(a^2+1-2a)=4
a^2-12a+4a^2+4-8a-4=0
5a^2-20a=0
a=4 a=0(原圆方程)
的确也得到了正确的结果.
也就是用圆系方程可以解决该类的对称问题.
究竟是什么原因可能大学才能学到.
我可以简单说一下
假设圆方程x^2+y^2-1=0
对称曲线是x=2
那么圆系方程求出来肯定是对的结果.
实际上直线与圆没有实得交点,但是有两个虚的交点.分别是(2,根号3i)(2,-根号3i),实际上圆系方程满足了过这两个虚的交点.
从高中看来没有交点,但是从大学看来还是有交点的.而且只要这两个交点固定,半径大小固定,那么肯定能求出相应的两个圆的方程（一个是自己,一个是对称圆）,也算是圆系方程的一种妙用吧
思考了好长时间,还是觉得要引入大学的虚数才能解释.

过两圆交点的圆系意思就是说过这两个交点的所有圆（可用一个式子表示出）
x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0,(λ≠-1)
该式的意思既为
过x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0
x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0这两圆交点的所有圆（根据λ取直不同可以有无数多个）
其实这是个公式,可以如下推导：
x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0-----1式
x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0-----2式
x,y只要同时满足以上两式既为交点,那么过这两交点的圆就可以由
1式+λ*2式---》》
x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0-----3式
满足3式的x,y显然也满足1,2式
λ≠-1是因为λ≠-1时该式显然就不是圆了
相关的还有直线系等等.简单但是满麻烦的=.=

对式子 X^2+Y^2-2AX+2(A-2)Y+2=0 进行整理,
含有A的放在一起,不含A的放在一起.
则有 2A(Y-X) + X^2 + Y^2 -4Y + 2 = 0
求恒过某点,
于是,
2A(Y-X)=0 且 X^2 + Y^2 -4Y + 2 = 0
解得 X = Y =1
恒过（1,1）