R的完备性是怎么回事儿?（对极限的运算封闭怎么理解?）

要详细解答的话,可以给我发消息（烦拷贝的）,给你发过去,另外完备性是指柯西列收敛并且其极限在该空间中.

在学数学分析的时候,在实数的完备性这一章我也学的是稀里糊涂,那里面的几个定义我到现在都没有搞明白,这也学就是一种划分吧.有时候不懂往往是一种进步.

夏道行等的《实变函数论与泛函分析》里习题5.4的第三题,在第二版的修订本里附带了部分答案,其中就有这道题的答案.
令X={（x_1,x_2,...)|数列{x_n}中只有有限个不等于0}
||x||=sum_{n=1}^{infty} |x_n| ,x=(x_1,x_2,...)in X.f_n 表示示X上的泛函,
f_n 表示X上的泛函,
f_n((x_1,x_2,...))=nx_n ,((x_1,x_2,...) in X ) n=1,2,...
这一列泛函都是有界线性泛函,对每个 x in X ,f_n(x)---->0 (n----> infty 时） 但 || f_n||=n.

一 区间套定理与柯西收敛准则
1 区间套
定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件
（1） 对, 有, 即, 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中；
（2） . 即当时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
, .
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增, 递减.
例如和 都是区间套. 但、
和都不是.

很奇怪lz为什么要到这里来问,因为完全可以看书上的,而且要证明等价性也不用30个证明,只需要有
1=>2
2=>3
3=>4
4=>5
5=>6
6=>1
六个证明就可以证明他们是等价的了

S是你那个数列的集.
反证假设S中没有聚点.那么对任意的x属于S,都存在一个ex,s.t.x的ex临域内只有x一个点.于是现在找到了一个无限开覆盖：x的ex临域,对任意x.所以,存在一个有限覆盖.假设其为x1,x2,.xn.
注意：每个覆盖内仅有1个S中的点.这一堆覆盖也才至多有n个,与S是无穷集矛盾.于是证明了.

公理体系的完备性 意思就是：该体系中有足够个数的公理,以之为依据可推导出该体系的全部结论.亦即：从公理系统出发,能推出（或判定）该领域所有的命题.
设一个公理体系具有两个模型∑和∑',如果在∑和∑'的对象之间能建立这样的一一对应,使得∑中元素间的相互关系或命题,总与∑'中相应元素间的相互关系或命题相对应,则称这两模型是同构的.
如果一个公理体系的各个模型是同构的,就称这个公理体系是完备的.
证明公理系统的完备性就是证明该公理体系的所有模型都相互同构（逻辑结构相同）.
关于公理系统的完备性要求,自哥德尔发表关于形式系统的“不完备性定理”的论文后,数学家们对公理系统的完备性要求大大放宽了.也就是说,能完备更好,即使不完备,同样也具有重要的价值.

关于实数集完备性的基本定理
一 区间套定理与柯西收敛准则
定义1 区间套:设 是一闭区间序列.若满足条件
ⅰ） 对 ,有 ,即 ,亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ） .即当 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套 .
区间套还可表达为:
.
我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列 和 ,其中 递增,递减.
例如 和 都是区间套.但 、
和 都不是.
区间套定理
Th7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套.则在实数系中存在唯一的点 ,使对 有 .简言之,区间套必有唯一公共点.
二 聚点定理与有限覆盖定理
定义 设 是无穷点集.若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点,则称点 为 的一个聚点.
数集 = 有唯一聚点 ,但 ;
开区间 的全体聚点之集是闭区间 ;
设 是 中全体有理数所成之集,易见 的聚点集是闭区间 .
Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
2.聚点原理 :Weierstrass 聚点原理.
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
三 实数完备性基本订立的等价性
证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 :证明按以下三条路线进行:
Ⅰ:确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则
确界原理 ;
Ⅱ:区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;
Ⅲ:区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .
一.“Ⅰ” 的证明:(“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).
用“确界原理”证明“单调有界原理”:
Th 2 单调有界数列必收敛 .
2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
Th 3 设 是一闭区间套.则存在唯一的点 ,使对 有 .
推论1 若 是区间套 确定的公共点,则对 ,
当 时,总有 .
推论2 若 是区间套 确定的公共点,则有
↗ ,↘ ,.
3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
引理 Cauchy列是有界列.( 证 )
Th 4 的证明:( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 .现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.
用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 .当 为有限集时 ,显然有上确界 .下设 为无限集,取 不是 的上界,为 的上界.对分区间 ,取 ,使 不是 的上界,为 的上界.依此得闭区间列 .验证 为Cauchy列,由Cauchy收敛准则,收敛; 同理 收敛.易见 ↘.设 ↘ .有 ↗ .
下证 .用反证法验证 的上界性和最小性.
“Ⅱ” 的证明:
用“区间套定理”证明“致密性定理”:
Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证 （ 突出子列抽取技巧 ）
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ：
Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限.
“Ⅲ” 的证明:
用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:
用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:

各给你一个例子,自己去用反证法验证
-覆盖一个闭区间的闭区间族不必包含此闭区间的有限子覆盖
用[1/2,1],[1/3,1],...,[1/n,1],...和[-1,0]覆盖[0,1]
-覆盖一个开区间的开区间族不必包含此开区间的有限子覆盖
用(1/3,1-1/3),(1/4,1-1/4),...,(1/n,1-1/n),...覆盖(0,1)
-覆盖一个开区间的闭区间族也不必包含此开区间的有限子覆盖
用[1/3,1-1/3],[1/4,1-1/4],...,[1/n,1-1/n],...覆盖(0,1)

你说的这几个定理是实数集第一公理系统中的连续性命题.
实数公理是,实数空间R是一个完备的阿基米德序域
实数集有两个公理系统：第一公理系统：1 (R,+,×）为一个域
2 R 为一个全序集
3 R 满足阿基米德公理
4 R 有连续性（这就是你问的几个定理）
第二公理系统：加、乘公理；加乘关系；序公理；加、序关系；乘、序关系；完备公理.

不一定……,达朗贝尔公式是无界波动问题的解.X(x)*Y(y)大概线性二阶方程的初边值问题才用,其物理意义是稳定的驻波

关于实数完备性的六个基本定理
不知到我说的对不对,
这六个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质:实数集关于极限运算是封闭的,即实数的连续性.之间相互等价,均可作为公理.
证明七个实数基本定理等价性的路线 :
Ⅰ:确界原理==>单调有界原理==>区间套定理==>Cauchy收敛准则==>确界原理
Ⅱ:区间套定理==>致密性定理==>Cauchy收敛准则
Ⅲ:区间套定理==>Heine–Borel 有限复盖定理==>区间套定理

完备性有两种含义,一种是哥德尔不完全定理,内容是：包含了初等代数的逻辑系统,都是不完备的,或者不完全的.
另一种是和可靠性对应的,也就是说,内容是：任何可靠地公式,都可以被证明.例如命题逻辑是完备的,因为任何重言式都是定理.
你提到的逻辑,都和哥德尔的不完全定理没关系,应该是属于第二种完备性,一阶逻辑是完备的,二阶以上的逻辑是不完备的.模态逻辑和事态逻辑的完备性,与他的模型有关,不能说整个模态逻辑或时态逻辑晚辈不完备.
逻辑的正确性,属于哲学的概念,和完备性不搭边,一般认为正确的逻辑是符合人类思维的.不过有争议

实数集的完备性又可以成为连续性,可以简单理解为数轴上的一条平滑曲线,而曲线上是有有理数和无理数一起组成的,所以单一拿出一个有理数集或无理数集都不具有连续性
ε一般读作埃普西隆,一般表示一个极小值
确界中∀ε>0,∃xo∈A,使xo>s-ε.则s为A的上确界：可以理解为存在某个非常小,甚至约等于0的数使得s减去这个数还是比xo大,也就是说xo不论取什么值都会比s小,这个s取最大值时会无限接近xo
任一有上界的非空实数集合A必有上确界：这个太久了 我都不知道怎么解释了
关于函数结合律,幂等律,对偶原理,如果你是数学专业或者以后准备从事相关行业的话就最好掌握,如果是应付考试只要了解一下,或者问老师是否有考点
D(f)指的是定义域的集合,也就是自变量能取得的所有的数的集合和R（f）是值域集合,就是函数结果的集合
高数本来就是一个天坑,不花点时间的话是搞不清楚了,还是问老师是很正常的,老师是过来人他自然知道你们的程度几斤几两不会认为你们怎么样的.如果实在不想问,去图书馆找参考书或者问学长学姐也是不错的选择

实数完备性基本定理等价,1.确界原理.2,单调有界定理,3.区间套定理.4.有限覆盖定理.5.聚点定理.6.柯西收敛准则 ,这六个定理间相互推导的证明 (共15个证明),好,很好.
本人向 问个 好.可看北京大学,理科课本,有.但清华大学工科没有.我北京大学毕业的.你呢.研究生么.

你先告诉我你所说是下面的哪个（2已知,关键是另一个）,然后我再考虑
1.(连续性,Dedekind)实轴的切割不产生新的点.
2.(连续性,Bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界.
3.(连续性)单调有界数列必收敛.
4.(连续性,Cantor)闭区间套非空.
5.(紧性,Weierstrass)有界数列必有收敛子列.
6.(紧性,Heine-Borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖
7.(完备性,Cauchy)实轴上的基本序列收敛.
顺便提一句,连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价,所以不要混用.
1楼看来真是全忘了,这个是数学分析的基础,不是实分析,虽然没必要去区分这两者.
OK.就证这两个.
2=>5:
若数列A_n落在区间[-M,M]上,考察集合
A={x:[-M-2,x]包含A_n的最多有限项}
那么A非空(至少包含-M-1)且上有界(M是一个上界),必存在上确界,记u=supA.
在(u,u+1)中取A_n的一项A_k_1.
在(u,u+1/m)中取A_n一项A_k_m,使得k_m>k_{m-1},由A的定义,这样的项肯定存在.
这样找到了A_n的一个子列A_k_m,容易用极限的定义说明A_k_m收敛到u.
5=>2:
设X是实数集的非空上有界子集,Y是它的上界全体.(此构造同样适用于1=>2,并且是直接得结论)
若X有最大值,那么supX=maxX,即上确界存在.
以下讨论X没有最大值的情况.
在X中任取一点记为A_0,在Y中任取一点记为B_0.
取C_n=(A_n+B_n)/2,若X中存在比C_n大的元素a,那么A_{n+1}=a,B_{n+1}=B_n；
否则A_{n+1}=A_n,B_{n+1}=C_n.
于是B_n是一个有界数列(A_0

这个是相关的电子书下载,是湖北财经高等专科学校李湘云副教授的一篇论文
http://www.***.com:90/SZHQK/~kjqk/hbcjgdzkxxxb/hbcj2002/0206pdf/020621.pdf

你的理解是有问题的,一楼也并未理解该定义.
首先,你对于“实数的中任意两个数,无论多么靠近,都存在一个实数,处于他们之间”所下的“定义”是不正确的：
“对任何x∈R,y∈R”,且x

证明：用反证法.
假设存在集合A有上界M但没有上确界,设a为A中的一个元素.则a