“三斜求积数”推出海伦公式（不用函数）

海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.
证明
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为
S = frac{1}{2}ab sin(C)
= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出.
已知三角形的三条边长分别是a、b、c,则三角形的面积：
△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕.
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的,其意义就是：设三角形的三边分别为a,b,c,面积为Δ,则
Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的.