DE╱╱AC交AB于点E,DF╱╱AB交AC于点F,求证AE＝DF

证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAD，
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=FE，
∵BE⊥AD，
∴∠FEA+∠FEB=90°，∠FBE+∠FAE=90°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=FB，
∴AF=FB．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

考点点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．

证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，
∴AE=ED，
∵∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠BDE+∠BAD=90°，
∵∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=ED，
∴AE=BE．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是先证AE=ED，再利用等量代换求证∠BDE=∠EBD，然后即可得证明AE=BE．

证明：∵DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形．（3分）
∵∠DAE=∠DAF，∠DAF=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA
∴AE=ED
∴AEDF是菱形．（6分）
∴点E、F关于直线AD对称．（8分）

点评：
本题考点： 轴对称的性质；菱形的判定．

考点点评： 考查学生对菱形定义和对称轴的理解和掌握程度．

（1）∵BC=2，BC边上的高AD=1，
∴S△ABC=[1/2]×2×1=1，
∵BP=x，
∴PC=2-x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴
S△CEP
S△CAB＝(
2−x
x)2，
∴S△CEP＝1−x+
x2
4，
同理，得到S△BPF＝
x2
4，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S_△PEF=[1/2]S▱AEPF=[1/2]（S_△ABC-S_△CEP-S_△BPF）
=-[1/4x2+
1
2x，（0＜x＜2）．
S_△PEF=-
1
4x2+
1
2x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S_△PEF=-
1
4x2+
1
2x=-
1
4]（x-1）²+[1/4]，
∵0＜x＜2，
∴当x=1时，面积有最大值[1/4]．

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题结合平面几何知识综合考查建立函数解析式的能力，找准变量之间的关系是解题的关键，属于难题．

证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AE=BE．

点评：
本题考点： 平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等角的余角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAD，
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=FE，
∵BE⊥AD，
∴∠FEA+∠FEB=90°，∠FBE+∠FAE=90°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=FB，
∴AF=FB．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

考点点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．

证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AE=BE．

点评：
本题考点： 平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等角的余角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴AC=AF+FC=DE+DF．

点评：
本题考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练求解．

证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，
∴AE=ED，
∵∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠BDE+∠BAD=90°，
∵∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=ED，
∴AE=BE．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是先证AE=ED，再利用等量代换求证∠BDE=∠EBD，然后即可得证明AE=BE．

（1）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．

（2）如图3，利用（1）中证明方法，即可得出：结论PE+PF-PD=AB．
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC延长线于M、N两点，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD，
∴PE+PF-PD=AM-MB=AB．

点评：
本题考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评： 本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运用性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．

证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAD，
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=FE，
∵BE⊥AD，
∴∠FEA+∠FEB=90°，∠FBE+∠FAE=90°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=FB，
∴AF=FB．

点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

考点点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．

答：PE+PF=AB．
证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，∠BPE=∠C，
∴AE=PF，∠B=∠BPE，
∴BE=PE，
∴PE+PF=AE+BE=AB．

点评：
本题考点： 平行四边形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题比较不大，注意掌握数形结合思想的应用．

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE=16．
故选B．

点评：
本题考点： 菱形的判定与性质；平行四边形的性质．

考点点评： 本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．

∵DE∥AC，（已知）
∴∠EDF=∠DFC，
∵DF∥AB，（已知）
∴∠DFC=∠A，
∴∠EDF=∠A．

点评：
本题考点： ["金属活动性顺序及其应用"]

考点点评： 本题利用了平行线的性质，比较简单．

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴AC=AF+FC=DE+DF=10．
答：DE+DF的值是10．

点评：
本题考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题，能够熟练求解．