ae是△abc外接圆的直径,延长高ad交圆于f,连接be cf,求证be=cf .

证明：（1）连接BE，
∴∠E=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠E=∠ABC，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，
∴AB²=AD•AE；
（2）D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立，
理由如下：
连接BE，
∴∠AEB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，
∴AB²=AD•AE．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，题目的综合性较强，难度中等．

证明：如图（1），当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时，连接BE，
则∠E=∠C，
∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴[AB/AD＝
AE
AC]，
即AD•AE=AB•AC为定值．
如图（2），当点D在BC的延长线上时，
∠BAE=∠CAD．此时，∠ACD=∠AEB．
∴△AEB∽△ACD，
∴[AB/AD＝
AE
AC]
即AD•AE=AB•AC为定值．
综上所述，当点D在BC边上或其延长线上时，
只要∠CAD=∠BAE，总有AD•AE为定值．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，可先探求定值，当AD⊥BC，AE为圆的直径时，满足∠BAE=∠CAD这一条件，不难发现△ACD∽△AEB，所以AD•AE=AB•AC，因为已知AB，AC均为定值．再就一般情况分点D在BC上，点D在BC的延长线上两种情况分别证明．

∵∠A=45°，
∴∠D=45°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=

2
2BD，
∵BD=2，
∴BC=
2．

点评：
本题考点： 圆周角定理；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，属较简单题目题目．

∵△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，
∴A+C=2B，
∴A+B+C=3B=180°，解得B=60°，
∵AB=8，BC=5，
∴AC²=8²+5²-2×8×5×cos60°=49，
∴AC=7，
∴△ABC外接圆半径R=[1/2×
7
sin60°]=
7
3
3，
∴△ABC外接圆面积S=π•(
7
3
3)2=[49π/3]．
故选：A．

点评：
本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查三角形外接圆面积的求法，是中档题，解题时要注意等差数列、正弦定理、余弦定理等知识点的合理运用．

证明：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，
∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四点共圆，
在这个圆中，由OC=OK得

OC=

OK，
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．

点评：
本题考点： 四点共圆．

考点点评： 本题考查了四点共圆的判定与性质．只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的．

（1）证明：过0作OH⊥BC于H，
∵OH过O，
∴由垂径定理得：BH=CH，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，OH⊥BC，
∴AE∥OH∥DF，
又∵OA=OD，
∴EH=FH，
∵BH=CH，
∴EH-BH=FH-CH，
即BE=CF，
∴BE+BC=CF+BC，
∴BF=CE．

（2）
∵C点是弧AD的中点，即弧AC=弧CD，
∴AC=CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠DCF=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠DCF，
在△EAC和△FCD中


∠AEC＝∠DFC＝90°
∠EAC＝∠DCF
AC＝CD，
∴△EAC≌△FCD，
∴AE=CF=3，CE=DF=3，
∴EC=CF，
∵OA=OC，
∴OC是梯形AEFD的中位线，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴OC是⊙O切线，
∴EF和⊙O只有一个交点，
即B C重合，
∴BC=0．

点评：
本题考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理．

考点点评： 本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质，梯形中位线定理．

∵tanC＝
4
3，∴cosC=[3/5]，sinC=[4/5]，
由正弦定理可得2r=[c/sinC]=[8

4/5]=10，
∴r=5，
故选D．

点评：
本题考点： 正弦定理的应用．

考点点评： 本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出 sinC=[4/5]，是解题的关键．

∵三个内角A、B、C成等差数列'
∴2B=A+C，A+B+C=180°，
∴B=60°，
设外接圆的半径为 r，则由正弦定理可得 [b/sinB＝2r，
∴
2
sin60°]=2r，∴r=
2
3
3，
故答案为：
2
3
3．

点评：
本题考点： 正弦定理．

考点点评： 本题考查正弦定理的应用，得到 bsinB＝2r，是解题的关键，属中档题．

（2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=PA•BC
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，
∴PB+PC=PA，
②P′D、AD，
（3）如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离．
∵△BCD为等边三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，
∴AD=
AB2+BD2=
32+42=5（km），
∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．

点评：
本题考点： 等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．

1年前