证A^2+b^2+c^2-a-b-c＞=0

y_hqj472rf27d92022-10-04 11:39:541条回答

证A^2+b^2+c^2-a-b-c＞=0
错了,是证A^2+b^2+c^2-ab-bc-ac＞0

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zxj0101 共回答了20个问题 | 采纳率85%: a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0.5*(a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ac+a^2 )
=0.5*( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ) >= 0; 1年前

三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s wingpan20081年前1: liujun222 共回答了14个问题 | 采纳率100%

因为a^2=b^2+c^2-2bccosA
S=(1/2)bcsinA
则a^2+b^2+c^2-4√3S
=b^2+c^2-2bccosA+b^2+c^2-4√3*(1/2)bcsinA
=2b^2+2c^2-2bccosA-2√3bcsinA
=2b^2+2c^2-4bc[(1/2)cosA+(√3/2)sinA]
=2b^2+2c^2-4bc+4bc-4bccos(60-A)
=2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)]
-120 < 60-A < 60
-1/2 < cos(60-A) ≤ 1
0 ≤ 1-cos(60-A) < 3/2
所以
a^2+b^2+c^2-4√3S = 2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)] ≥0
当b=c且A=60时,即等边三角形时,等号成立
这个要用到高中的余弦定理和诱导公式.
余弦公式：
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
上式中A、B、C分别表示a,b,c所对应的角.
由第三个公式可以得到
c^2-a^2-b^2=-2ab*cosC ；
又S=1/2*ab*sinC .
将上面两个等式带入欲证式,就得到新的欲证式：
4ab≥2ab*cosC +2√3ab*sinC
化简之后就是
1/2cosC +√3/2sinC≤1
把1/2和√3/2分别视为sin30和cosC30
那么上式就等价于
sin（30+C）≤1,这显然成立,当且仅当C=60时取得最大值为1.
证毕.

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