Jensen不等式的应用:(abc)^((a+b+c)/3)

必须感谢Jensen 让一切运行良好.

1.令ai=|xi|/(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^(1/p),bi=|yi|/(|y1|^p+|y2|^p+...+|yn|^p)^(1/q)----lz抄错题了,自己看看
那么只要证明a1b1+a2b2+...+anbn

Jensen不等式及其应用
以助人为快乐之本.

若f为凹函数,即f’’=a1*f(x1)+a2*f(x2)+……+an*xn
恒成立.
证明：不是一般性,令xi=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立
欲证上式成立,即证明[a1+(1-a1) ]*f[a1*x1+(1-a1)*x2] >=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立,移项并合并同类项后上式可变为：
a1*{f[a1*x1+(1-a1)*x2]- f(x1)}>=(1-a1)*{ f(x2)- f[a1*x1+(1-a1)*x2]} （1）
根据罗尔中值定理,有：[f(x)-f(x’)]/(x-x’)=f’(y),x==y1.由f’’=f’(y2),因此（1）式成立.（注：麦克劳林展开只有在（x2-x1)趋于零时成立,因此,此处不能使用麦克劳林展开公式）.
（2）证明n=2^k(k为正整数)时命题成立,首先证明n=4时原命题成立,则由（1）可得：
（a1+a2）*f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]>=(a1+a2)*[a1/(a1+a2)f(x1)+a2/(a1+a2)*f(x2)] (2)
（a3+a4）*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4]>=(a3+a4)*[a3/(a3+a4)f(x3)+a4/(a3+a4)*f(x4)] (3)
将上述（2）式与（3）式同时除以（a1+a2+a3+a4）,再次利用（1）式可得：
f[a1/(a1+a2+a3+a4)*x1+a2/( a1+a2+a3+a4)*x2+a3/( a1+a2+a3+a4)*x3+ a4/( a1+a2+a3+a4)*x4]
>=(a1+a2)/(a1+a2+a3+a4)* f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]+
（a3+a4）/(a1+a2+a3+a4)*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4] (4)
由于a1+a2+a3+a4=1,因此（4）式左边部分即为f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4),右边部分即为a1*f(x1)+a2*f(x2)+a3*f(x3)+a4*f(x4),n=4时,命题得证.同理可从最底层开始运用公式（1）证明n=2^k(k1且k2)的情形依然成立.
（3）当n2^k时,可将ai*xi分成m个部分,即m个ai/m*xi之和,使得n+(m-1)=2^k,再利用上式便可直接得到原命题.
（4）当ai均趋向于0时,取其极限形式,便可证明f[E(x)]>=E[f(x)],将f函数符号改为U符号,即得微观经济学中冯诺依曼期望效用的一个不等式.

这道题考的是植物生长素如图一云母插入背光侧因为生长素有一个特性就是喜欢没有光的地方所以生长素会像背光处聚集但是由于云母的干预导致了生长素无法从背光处向下运输所以生长素只能从向光侧向下运输但是在越过云母以后生长素还是会偏向背光侧所以植物不体现向光性然而把云母插入向光侧如图二生长素还是向背光侧移动而且能够向下运输所以背光侧生长很快所以植物体现向光性由上面的事实可以推出题目中所述未知物就是生长素所以C是对的而D虽然说的没有错误但是这句话并非是该实验所能体现的所以选C如若证明D即未知物是尖端产生可以用两组植物一组将胚芽鞘尖端截掉另一组不动就可以证明D了