an》0,an+1/an=2Sn.求数列{an}

因S1=a1
则a1+1/a1=2a1
注意到a1>0
解得a1=1
因Sn-S(n-1)=an（*）
则(an+1/an)-[a(n-1)+1/a(n-1)]=2an
即an+a(n-1)=1/an-1/a(n-1)
由此有(a2+a1)+(a3+a2)+(a4+a3)+...+(an+a(n-1))=1/an-1/a1=1/an-1
即有(1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+a(n-1))=1/an
注意到a1=1
即有(a1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+a(n-1))=1/an
即有Sn+S(n-1)=1/an（**）
由（*）（**）得Sn^2-S(n-1)^2=1
表明数列{Sn^2}为公差为1的等差数列
显然首项S1^2=a1^2=1
易知通项Sn^2=n
考虑到an>0
则Sn>0
所以Sn=√n
由an+1/an=2Sn
则an+1/an=2√n
解得an=√n±√(n-1)

注意an=Sn-S(n-1),2Sn-an=Sn+S(n-1)
所以题设表明1/(Sn-S(n-1))=Sn+S(n-1).即(Sn)^2-(S(n-1))^2=1
这说明(Sn)^2是公差为1的等差数列
而a1+1/a1=2S1=2a1.解得正数a1=1.所以(S1)^2=1
所以(Sn)^2=n.Sn=根号n
所以an=根号n-根号(n-1)

由an=Sn-Sn-1有, (Sn-Sn-1)+(1/(Sn-Sn-1))=2Sn
整理一下可以得到 Sn的平方=Sn-1的平方+1
说明Sn的平方是等差数列
再由a1+1/a1=2S1=2a1得到a1=1
所以Sn的平方=n Sn=根号n
an=根号n-根号(n-1)

因为：An+1=2Sn,则A(n-1)+1=2S(n-1)
那么：2Sn-2S(n-1)=（An+1）-（A(n-1)+1）（n>=2）
又因为：2Sn-2S(n-1)=2An（n>=2）
所以：2An=（An+1）-（A(n-1)+1）
整理得：An=-A(n-1)（n>=2）
即：An/A(n-1)=-1,为等比数列
所以：An=(-1)^(n-1)（n>=2）
当n=1时,带入可得：A1=1,与所给条件相同,故也适合公式：An=(-1)^(n-1)
综上所知：An=(-1)^(n-1)

注意an=Sn-S(n-1),2Sn-an=Sn+S(n-1)
所以题设表明1/(Sn-S(n-1))=Sn+S(n-1).即(Sn)^2-(S(n-1))^2=1
这说明(Sn)^2是公差为1的等差数列
而a1+1/a1=2S1=2a1.解得正数a1=1.所以(S1)^2=1
所以(Sn)^2=n.Sn=根号n
所以an=根号n-根号(n-1)