引理和推理有什么不同?引理（Lemma）和推理有什么不同?顺便帮解释一下公理和定理.

这里体现了微分和积分的思想.
先举个例子,在圆周率未知的情况下求一个已知半径的圆的面积,可以用计算圆的内接正n边形的面积来近似地求出圆的面积,当n=4时,正n边形和圆的面积之比为1：1.57；当n=6时,圆和正n边形的面积之比为1：1.212……N的值越大,正N边形与圆的面积越接近.当N趋于无穷大时,圆和正N边形趋近于重合,这时,圆和正N边形的面积就相等了.
下面开始回答问题：
1.“量”和“量”,实际上一个就是我们所要求的量,如例中圆的面积,另外一个就是我们用来逼近未知量的的量,如正N边形的面积.
2.给定的值的意思可以大致理解为计算所要求的精度,在上例中,我们不可能真的让N等于无限.
3.很遗憾,原版是拉丁文滴.

公理：经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理.
定理：通过理论证明能用来作为原则或规律的命题或公式.定理和公理的区别在于,公理是“天生”存在的.而定理是根据公理做进一步证明得来的.
引理：认为是和定理等价的,也就是说可以当成定理来用.
断言：根据目前已知公理或定理简单猜测出的结果,没有经过系统证明,或者本身就没有找到证明方法,但是实际结果相符.当然,其结果可能正确也可以不正确

做功要求受力物体在力的作用方向上产生位移,对于水平匀速运动的货物,它主要受的是绳子的拉力和地球的重力,这两个字做受力分析画图看都是和他的运动方向垂直的,在力的方向上没有位移,也就没有做功.
再看水平方向上,因为空气阻力的存在,要保持重物在水平方向上的匀速运动确实需要一个力,而且重物也是在这个力的方向上进行位移,然而这个力本身非常非常微小,所以他做的功可以忽略不计（你想起重机吊起来的都是又大又重的东西,那种东西匀速运动起来空气阻力能产生的影响非常非常小,所以与之相对的起重机的拉力在水平方向上的分量也就很小,做功也就小,不过确实是存在的,空气阻力做负功,起重机做正功.）

套用结论的话,就是用中国剩余定理:
同余方程组x ≡ a (mod n1),x ≡ b (mod n2)在mod n意义下存在唯一解x ≡ c (mod n).
这样建立了{0,1,...,n1-1}×{0,1,...,n2-1} → {0,1,...,n-1}的单射,
比较元素个数可知这也是双射.
由c ≡ a (mod n1),c ≡ b (mod n2),n = n1·n2.
可验证(a,n1) = 1且(b,n2) = 1的充要条件是(c,n) = 1.
因此上述映射刚好给出A×B → C的双射.
用Bezout定理可以给出构造的细节.
由(n1,n2) = 1,存在整数u,v,满足n1·u+n2·v = 1.
可验证c = n1·ub+n2·va即满足c ≡ a (mod n1),c ≡ b (mod n2),
且c mod n的余数不依赖u,v的选取.
此外(a,n1) = 1且(b,n2) = 1的充要条件是(c,n) = 1.
构造映射将(a,b)映为c mod n的余数,可验证其为A×B → C的双射.

这很容易啊!你要知道这样一件事：有理数可列（可数）,R^n中的有理点（各个坐标分量都是有理数）是可列（可数）的,而且稠密,因此R^n中的所有以有理点为球心,正有理数为半径的开球是可数多个.
这些可数多个开球就是R^n中的一个基,具有可数基的空间一定是Lindelof空间.
如果你对基的概念不熟悉,第二段你就当没有,接着第一段来.对于E中的每一个点P,既然能够被某一个开集U(p)覆盖,就有一个有理点P（r）和某一个有理数x,使得以P(r)为中心,x为半径的开球能包含点P,这些球之多具有可列多个,每一个这样的球,找到一个包含这个球的U（P）,显然这些U(P)至多可列个,构成了E的子覆盖.

这里面的嵌套闭区间系是指哪个?
把闭区间△=[a,b]=[a,a+d]分为三部分:[a,a+d/3],[a+d/3,a+2d/3],[a+2d/3,a+d],具有号码1的点不属于这三个闭区间之一(如果不属于其中2个,可以从中任选1个),就把号码1的点不属于的这个闭区间记做△1=[a1,b1].
把△1分为三部分,把号码2的点不属于的这个闭区间记做
△2=[a2,b2].△2包含于△1.
如此等等,得到嵌套闭区间系:M={△1,△2,...,△n,...}
△1包含△2包含...包含△n.
点1不属于△1,点2不属于△2,...,点n不属于△n,...
由引理,有x属于所有△n,这个x不是点1,不是点2,...,不是点n,.,x没有被编号,这与假设闭区间的所有的点都被编了号相矛盾.

e > 0 是不是 ε > 0 .
这里 ε 是一个无穷小量.
引理的意思是：
s - s'< ε （这里的 ε 是一个无穷小量 ）,
s‘ < α < s,
s‘ < β < s,
所以,α = β .

问题出在前一句话.
剩下的n-1个数应该是:
x[2], x[3],..., x[n-1]和x[1]x[n]/A.
这n-1个数的乘积为A^(n-1), 因此几何平均还是A.

数学分析上有证明.两者等价,都是实数系基本定理.
不用柯西原理和其他定理,直接证法如下.
定理 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界.
证明：任意实数x可以表示为x=[x]+(x),整数部分+非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数形式：
(x)=0.a1 a2 a3 ...an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的十进制无效小数表示.注意0.123000...=0.122999...为了保持表示的唯一性,约定类似情况统一表示成前者.这样,任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{a0+0.a1 a2 ...an ...| a0=[x],0.a1 a2 ...an ...= (x),x属于S}.
设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分的最大者为b0,b0一定存在,否则S就无上界,并记
S0={x|x属于S 且 [x]=b0}.
显然由b0的定义,S0不是空集,并对任意x属于SS0,有xS1>...>Sn>...,和一列数b0,b1,...,bn,...,满足
b0是整数,bk是0,1,...,9中的一个.
令c=b0+0.b1 b2 ...bn ...,下面证明c就是S的上确界.
首先,若x属于S,则或存在非负整数m,使得x不属于Sm,或对任何非负整数n有,x属于Sn.
若x不属于Sm,有
x < b0+0.b1 b2 ...bm 0,当m充分大,便有 1/10^m < e.
取y属于Sm,则c与y的整数部分及前m位小数是相同的,所以
c-y c-e,这就说明了任何小于c的数都不是S的上界.
故c就是S的上确界.
同理可证下确界存在性.
用柯西原理的话,先证明闭区间套定理,再证明确界存在定理.

也是相同的，行列式如果第i列只有一个非0元素，也是可以这样的行列式的值