能被19整除的数的特点是怎么来的

此题化成：一个数,被19整除,被13除余1,被11除余2的“物不知数”问题.
被19整除,最小正整数是19,它被13除余6.以后每增加19,余数增加6.设有余数6共X个.
6X = 13Y + 1
有最小的解X = 11,Y =5.即数字19 *11 = 209被19整除,被13除余1.
在209的基础上,每次加13、19的最小公倍数247,对13、19的余数性质不变,再满足对11的余数性质.
209被11整除.247被11整除余5,设有X个余数5.
5X = 11Y + 2
有最小的解X =7,Y = 3,即209 + 247*7 = 1938,此数被19整除,被13除余1,被11除余2.
在1938的基础上,每次增减11、13、19的最小公倍数2717,余数性质不变.
因此这三个连续自然数是【1939-2=】1936,【1938-1=】1937,1938.
这三个数字各增加2717同样符合题意.

1：所有整数
2：所有偶数
3：各个数位和为3的倍数
4：偶数中4的倍数,后两位能被4整除
5：个位为0或5的
6：是3的倍数的偶数
7：后三位与前几位的差能被7整除
8：偶数中8的倍数,后三位能被8整除
9：各个数位和为9的倍数
10：末位为0
11：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数
13：末三位与前几位的差能被13整除
14：7的倍数中的偶数
15：3的倍数中末位为0或5的
16：偶数中16的倍数,后四位能被16整除的
17：末三位与前几位的差能被17整除
18：9的倍数中的偶数
19：19的倍数
（7和13的可能不对,这都是小学的知识,现在都快忘了,除了那几个常用的,绝大部分应该都是正确的）
孩子呀~以后要自己动脑筋~

最小的能被15整除,则其尾数为 0或5
则中间的数尾数为 1或6,即19的 4+10X倍 或 9+10X倍
经验算,X=25、中间数=19*259=4921时满足条件.
三个数分别是 4920、4921、4922

设这个数字为10000X+2013（因为只在五位数以上题目才成立）
（10000X+2013）/19＝N（N为整数）
那么,倒霉吧,我没有更好的办法了
试吧,总比一个一个猜的好,那要猜几十几百几千万或亿,反正没做出来之前,我不知道是多少概率
X＝1……不行,
X＝2……不行
……
X＝15……不行
X＝16……眼睛发亮了
不信你试试
162013/19＝8527
这个数,最小为
162013

最小的能被15整除,所以这个数必为3和5的倍数
设最小的数为x,则中间的为x+1,最大的为x+2
因为 （x+1）mod 17=0
所以 x mod 17=16
因为 （x+2）mod 19=0
所以 x mod 19=17
我们先求出一个满足能被15整除,被17除余16的数
被17除余16的数有16,33,50.(17k+16)
16 mod 15=1
17k mod 15=2k
2k=(15-1)
k=7
所以符合被15整除,被17除余16的最小数为7*17+16=135
15*17=255,所以 255k+135也符合要求.
接着就求符合除以19余17的数了 (19k+17)
135 mod 19=2
255 mod 19=8
(8y)+2=19z+17
y和z的最小解为
z=3,y=9
所以符合条件的最小数为
9*255+135=2430
我们验证一下吧,
x=2430 2430/15=162
x+1=2431 2431/17=143
x+2=2432 2432/19=128
当然2430是x的最小取值
15*17*19=4845
x还可以取4845k+2430(k为大于等于0的整数)

解题思路：两个自然数相加，每有一次进位，和的各位数字之和就比组成两个加数的各位数字之和减少9．由“小数”+98=“大数”知，要使“小数”的各位数字之和与“大数”的各位数字之和相差19的倍数，（“小数”+19）至少要有4次进位，此时，“大数”的各位数字之和比“小数”减少9×4-（9+8）=19．当“小数”的各位数字之和是19的倍数时，“大数”的各位数字之和也是19的倍数．

因为要求两数之和尽量小，所以“小数”从个位开始尽量取9，
取4个9后（进位4次），再使各位数字之和是19的倍数，得到29999，
“大数”是29999+98=30097．两数之和为29999+30097=60096．
故答案为：60096．

点评：
本题考点： 数字和问题；数的整除特征．

考点点评： 此题较难，解答时应明确题意，根据给出的条件进行分析，然后进行大胆假设，通过假设得出符合要求的答案，进而得出结论．

就是去掉末三位前面的部分
比如2337
末三位337
隔出数2
337-2*7=323能被19整除
所以2337能被19整除
设末三位x 隔出数y
y-7x=19k
该数字=y+1000x=19k+1007x 能被19整除

(1)不定方程解法
设中间的数是15x
那么
15x-1=13y (1)
15x+1=19z (2)
得到一个不定方程组
由(1)得
y = (2x-1)/13 + x
2x-1能被13整除
所以设2x-1=13(2k+1)
所以x = 13k+7
y = 2k+1+13k+7 = 15k+8
代入(2)得
15(13k+7)+1 = 19z
195k+106=19z
z=(5k-8)/19+10k+6
设5k-8=19t
那么k = (3-t)/5 + 4t + 1
所以t = 5s+3
k=-s+20s+12+1=19s+13
x = 13(19s+13)+7 = 247s + 176
取s=0得x的最小值为176
所以中间的数是176*15=2640
连续的三个数为2639,2640,2641
（2）同余解法
同样设中间的数为x,那么
x = 1 (mod 13)
x = 0 (mod 15)
x = -1 (mod 19)
因为15*19 = -1 (mod 13)
所以15*19*(-1) = 1 (mod 13)
13 * 19 * 0 = 0 (mod 15)
13 * 15 = 5 (mod 19)
13*15*15 = -1 (mod 19)
所以x = 15*19*(-1)+13*15*15 = 2640 (mod 13*15*19)
所以连续的三个自然数是2639 2640 2641

设这个数为a,则依题意
4a可以被 19整除,
4(a+1)=4a+4可以被23整除,
4(a+2)=4a+8可以被 27整除
所以,4a-19 可以被 19整除,
4a+4-23=4a-19 可以被23整除,
4a+8-27=4a-19 可以被 27整除
从而,4a-19 可以被19、23、27整除,
19、23、27的最小公倍数为
19×23×27=11799
所以,4a-19=11799k
4a=11799k+19=11780k+19（k+1）
所以当 k=3时,a是整数,
解得,a=8854
（8854÷19=466,8855÷23=385,8856÷27=328）
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解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，
4845+15=4860能被15整除，
4845+17=4862能被17整除，
4845+19=4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除．
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432．
故答案为：2430，2431，2432．

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．

17×19=323
110000÷323=340..180
119911÷323=371...78
试一下323×347,357,367
323×357=115311
11(5)(3)11

解题思路：由17与19互质可知，8□98能被（17×19=）323整除．因为8098÷323=25…23，根据商数与余数，符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是323×26=8398．将8398分解质因数：8398=323×26=2×13×17×19，所以，这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51．

由17与19互质可知，8□98能被（17×19=）323整除．因为8098÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是323×26=8398．将8398分解质因数可得：
8398=323×26=2×13×17×19；
所以，这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51．
故答案为：51．

点评：
本题考点： 带余除法．

考点点评： 完成本题关健是先根据8□98能同时被17和19整除明确，8□98能被（17×19=）323整除．

解题思路：根据六位数11□□11能被17和19整除，得出这个六位数11□□11能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．

∵六位数11□□11能被17和19整除，
∴这个六位数11□□11能被17×19=323整除，
这个数最小为110011，故110011÷323=340..191，
这个数最大为119911，故119911÷323=371…78，
∵11□□11能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为7，
符合要求的只有347，357，367．
故试一下323×347=112081，323×357=115311，323×367=118541，
只有323×357=115311符合要求，
故原数为：11（5）（3）11
答：方框中的两位数是53．

点评：
本题考点： 数的整除性．

考点点评： 此题主要考查了数的整除性，根据已知得出11□□11除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．

23*19=437
2007÷437=4.259
437-259=178
可能的数中最小的是178

169 170 171
4368 4369 4370
8567 8568 8569
12766 12767 12768
16965 16966 16967
21164 21165 21166
25363 25364 25365
29562 29563 29564
33761 33762 33763
37960 37961 37962
42159 42160 42161
46358 46359 46360
50557 50558 50559
54756 54757 54758
58955 58956 58957
63154 63155 63156
67353 67354 67355
71552 71553 71554
75751 75752 75753
79950 79951 79952
84149 84150 84151
88348 88349 88350
92547 92548 92549
96746 96747 96748

第一列乘以10000加到最后一列,第二列乘以1000加到最后一列,第三列乘以100加到最后一列,第四列乘以10加到最后一列,做完这些以后行列式不变.这个时候你就可以在最后一列提出19来了.所以这个行列式就被19整除了.

解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，
4845+15=4860能被15整除，
4845+17=4862能被17整除，
4845+19=4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除．
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432．
故答案为：2430，2431，2432．

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．

解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，
4845+15=4860能被15整除，
4845+17=4862能被17整除，
4845+19=4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除．
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432．
故答案为：2430，2431，2432．

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．

解题思路：要求所加的整数是多少，根据题意可知，1996与所求整数之和是23与19的公倍数，然后算出23与19的公倍数比1996稍大的，继而用该公倍数-1996即可得出本题答案．

因为1996与所求整数之和是23与19的公倍数，
所以有：23×19=437
437×5=2185
2185-1996=189．
答：所加整数为189．
故答案为：189．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 本题考查了数的整除性，此题解题的关键是先求出31和23的最小公倍数，然后根据题意，计算出比1996稍大的19和23的公倍数，最后减去1997即可得出结论．

2的规律是偶数
3的规律是所有位数相加是三的倍数,比如93,9＋3＝12,12是三的倍数
5的规律是个位数为0或5
其他的不知道了

77 X 77 - 1
= 78 X 76
= 78 X 4 X 19
这样
( 77 X 77 - 1 )/19
= 78 X 4

解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，
4845+15=4860能被15整除，
4845+17=4862能被17整除，
4845+19=4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除．
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432．
故答案为：2430，2431，2432．

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．

解题思路：根据六位数11□□11能被17和19整除，得出这个六位数11□□11能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．

因为六位数11□□11能被17和19整除，
所以这个六位数11□□11能被17×19=323整除，
这个数最小为110011，故110011÷323=340..191，
这个数最大为119911，故119911÷323=371…78，
因为11□□11能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为7，
符合要求的只有347，357，367．
故试一下323×347=112081，323×357=115311，323×367=118541，
只有323×357=115311符合要求，
故原数为：11（5）（3）11
答：方框中的两位数是53．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题主要考查了数的整除性，根据已知得出11□□11除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．

（1）1与0的特性：
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.
0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.
（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除.
（3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除.
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除.
（5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除.
（6）若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除.
（7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ,59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推.
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除.
（9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除.
（10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除.
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是：倍数不是2而是1!
（12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.
（13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.
（14）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.
（15）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除.
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除

解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，
4845+15=4860能被15整除，
4845+17=4862能被17整除，
4845+19=4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除．
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432．
故答案为：2430，2431，2432．

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．

解题思路：要求所加的整数是多少，根据题意可知，1996与所求整数之和是23与19的公倍数，然后算出23与19的公倍数比1996稍大的，继而用该公倍数-1996即可得出本题答案．

因为1996与所求整数之和是23与19的公倍数，
所以有：23×19=437
437×5=2185
2185-1996=189．
答：所加整数为189．
故答案为：189．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 本题考查了数的整除性，此题解题的关键是先求出31和23的最小公倍数，然后根据题意，计算出比1996稍大的19和23的公倍数，最后减去1997即可得出结论．

4845、4846、4847
错了 应是：2430、2431、2432

解题思路：由17与19互质可知，8□98能被（17×19=）323整除．因为8098÷323=25…23，根据商数与余数，符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是323×26=8398．将8398分解质因数：8398=323×26=2×13×17×19，所以，这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51．

由17与19互质可知，8□98能被（17×19=）323整除．因为8098÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是323×26=8398．将8398分解质因数可得：
8398=323×26=2×13×17×19；
所以，这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51．
故答案为：51．

点评：
本题考点： 带余除法．

考点点评： 完成本题关健是先根据8□98能同时被17和19整除明确，8□98能被（17×19=）323整除．

这个数是4

解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，4845+15=4860能被15整除，4845+17=4862能被17整除，4845+19=4864能被19整除，所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数...

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．

这题实际挺简单的：分别取最大最小值,及取119911和110011,因为能同时被17和19整除,所以这个数是17和19最小公倍数（17*19=323）的倍数.119911/323=371.2415 110011/323= 340.7957 所以在110011~119911之间,能同时被17和19整除有371-341+1=31个,其最小为341*323= 110143 最大为371*323=119833 有因为个位为1,而乘以3个位为1的数只有7,根据此限制条件,只有347,357,367符合条件.347*323=112081 357*323=115311 367*323=118541 所以.115311

解题思路：两个自然数相加，每有一次进位，和的各位数字之和就比组成两个加数的各位数字之和减少9．由“小数”+98=“大数”知，要使“小数”的各位数字之和与“大数”的各位数字之和相差19的倍数，（“小数”+19）至少要有4次进位，此时，“大数”的各位数字之和比“小数”减少9×4-（9+8）=19．当“小数”的各位数字之和是19的倍数时，“大数”的各位数字之和也是19的倍数．

因为要求两数之和尽量小，所以“小数”从个位开始尽量取9，
取4个9后（进位4次），再使各位数字之和是19的倍数，得到29999，
“大数”是29999+98=30097．两数之和为29999+30097=60096．
故答案为：60096．

点评：
本题考点： 数字和问题；数的整除特征．

考点点评： 此题较难，解答时应明确题意，根据给出的条件进行分析，然后进行大胆假设，通过假设得出符合要求的答案，进而得出结论．

解题思路：根据15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．

因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845，
4845+15=4860能被15整除，
4845+17=4862能被17整除，
4845+19=4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除．
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432．
故答案为：2430，2431，2432．

点评：
本题考点： 数的整除特征；找一个数的倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，19的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，19相加得出偶数关系即可求出答案．