综合除法和余式定理 1.设多项式f(x)=(x+3)(x-2)+5,若f(x)除以x-k之余数为k^2,则k=?

f(x)＝X^4-2X^2+3
= (x^2 - 1)^2 +2 = [(x+1)(x-1)]^2 +2
则 Xo = - 2 时有 f(-2) = [(-2 + 1)(-2 - 1)]^2 + 2
= 3^2 + 2 = 11

海伦公式 Heron's formula
二分法 Bisection method

我认为综合除法：综合除法是一种简便的除法,只透过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式.例1. ( 2a3 - 6a2 + 11a - 6) ÷(x - a)image:mathequation.gif被除数：被除数的未知数应是降幂排列,抽取系数用以计算,但若题目的被除数出现 ,降幂次数中没有3,则在演算的过程中在该系数的位置上补上0,然后如常计算.除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1,当出现别的系数时,如：3x – 2中的3,我们会把它变做3 (x - ) ,同样以 - 来计算,但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数.∴ ans：商式q = 2a2 - 2a + 7余式r = 8注意：演算时,须紧记末项是余式之系数,即原被除式末项文字之系数.商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1,余依齐次式类推.

x^3-x^2+9x-11
--------------------------------
x+1 i x^4 +8x^2-2x-14
x^4+x^3
---------------------------------
-x^3+8x^2-2x-14
-x^3- x^2
-----------------------------------
9x^2-2x-14
9x^2+9x
------------------------------------
-11x-14
-11x-11
---------------------------------------
-3

(x^4-3x^3+6x^2-10)-( x^2-3x+1)*(x^2)
= (x^4-3x^3+6x^2-10)-( x^4-3x^3+x^2)
= 5x^2-10
5x^2-10 - ( x^2-3x+1)*5
= 5x^2-10 - ( 5x^2-15x+5)
= 15x-15
所以(x^4-3x^3+6x^2-10) = ( x^2-3x+1)*(x^2+5) + 15x-15
这个解答应该可行的,这个只用到多项式乘法的应用,应该很容易明白的

综合除法,其实就是多项式除以多项式,一般步骤是：
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐．
（2）用除式的第一项去除被除式的第一项,得商式的第一项．
（3）用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面（同类项对齐）,从被除式中减去这个积．
（4）把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式
如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除
用上面的方法,下面给出几道利用综合除法分解因式的例题,作为掌握综合除法的练习：
x^3+x^2-10x-6
6=1*6=2*3
f(3)=0
所以有因式：（X-3）
用综合除法得：
x^3+x^2-10x-6=(x-3)(x^2+4x+2)
x^3+x^2-10x+8
8=1*8=2*4
f(2)=0,
所以有因式：（X-2）
用综合除法得：
x^3+x^2-10x+8=(x-2)(x^2+3x-4)=(x-2)(x+4)(x-1)
4(x^4)+4(x^3)-9(x^2)-x+2
2=1*2
f(1)=0
所以有因式：x-1
用综合除法得：
4x^4+4x^3-9x^2-x+2=(x-1)(4x^3+8x^2-x-2)=(x-1)（x+2)(2x+1)(2x-1)
分解因式
a^6-64(b^6)
=(a^3+8b^3)(a^3-8b^3)
=(a+2b)(a^2+4b^2-2ab)(a-2b)(a^2+4b^2+2ab)
x^9+y^9
=[x^3+y^3][x^6+y^6-x^3y^3]
=[x+y][x^2+y^2-xy][x^6+y^6-x^3y^3]
8(a^3)+b^3+c^3-6abc
=[2a+b+c][4a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-bc]
1+x+x^2+x^3+.+x^15
=(1+x)+x^2(1+x)+x^4(1+x)...+x^14(1+x)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+...+x^14)
=(1+x)[(1+x^2)+x^4(1+x^2)+x^8(1+x^2)+x^12(1+x^2)]
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8+x^12)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)

﹙2x^4＋5x³－24x²－15﹚÷﹙2x－1﹚
=(2x^4-x^3+6x^3-3x^2-21x^2+10.5x-10.5x+5.25-20.25)/(2x-1)
=(2x^4-x^3)/(2x-1)+(6x^3-3x^2)/(2x-1)-(21x^2-10.5x)/(2x-1)-(10.5x-5.25)/(2x-1)-20.25/(2x-1)
=x^3+3x^2-10.5x-5.25-20.25/(2x-1)

综合除法,注意缺项补0：
2 5 -24 0 15|2
4 18 -12 -24
-------------------------
2 9 -6 -12 -9
∴(2x^4+5x^3-24x^2+15)/(x-2)=2x^3+9x^2-6x-12-9/(x-2).
.2x^3+9x^2-6x-12
x-2)------------------------
.2x^4+5x^3-24x^2 +15
.2x^4-4x^3
.---------------
.9x^3-24x^2
.9x^3-18x^2
.----------------
.-6x^2
.-6x^2+12x
.------------
.-12x+15
.-12x+24
.---------
.-9

综合除法
综合除法：
综合除法是一种简便的除法,只透过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式.
例1.( 2a3 - 6a2 + 11a - 6) ÷(x - a)
Image:MathEquation.GIF
被除数：被除数的未知数应是降幂排列,抽取系数用以计算,但若题目的被除数出现 ,降幂次数中没有3,则在演算的过程中在该系数的位置上补上0,然后如常计算.
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1,当出现别的系数时,如：3x – 2中的3,我们会把它变做3 (x - ) ,同样以 - 来计算,但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数.
∴ Ans：商式Q = 2a2 - 2a + 7
余式R = 8
注意：演算时,须紧记末项是余式之系数,即原被除式末项文字之系数.商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1,余依齐次式类推.

(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
综合除法解起来会很容易,但是过程想表述清楚不容易,如果LZ想看懂可以去百度综合除法,文库有详解,下面用待定系数法解
设(mx+n)(x-1)^3=x^4-x^3+ax^2+bx+c
左边=mx^4-3mx^3+3mx^2-3x+nx^3-3nx^2+3nx-n
=mx^4-(3m-n)x^3+(3m-3n)x^2+(3n-3)x-n
=右边=x^4-x^3+ax^2+bx+c
比较系数得到：m=1 ,3m-n=1 ,3m-3n=a ,3n-3=b ,-n=c
联立前两个方程解得 m=1 ,n=2
代入第三四五个方程得到 a= -3 b=3 c=-2
(因为是口算所以不敢保证正确,还望楼主与答案对照,如有出错,请提醒本人,

十字相乘法 双十字相乘法 待定系数法 配方法
短除法.

例五：f(x)=(x-1)^4-(x-1)^3-14(x-1)^2-8(x-1),所以f(x)可以被(x-1)整除,至于具体的方法,是凑出来的.因为要被(x-1)整除,所以按照(x-1)的4、3、2、1次方展开,如原式中,x的四次方的系数是1,所以先弄一个(x-1)^4,然后将它展开,看看x^3的系数是多少,这里x^3的系数是-4,而原式中是-5,所以接下来再弄一个-(x-1)^3这样x^3的系数就凑成-5了,再将(x-1)^4和-(x-1)^3中的其他项合并,用同样的方法,将其剩余的x^2、x、以及常数项合并,对照原式,凑出(x-1)^2、(x-1),并确定他们的系数(x-1)整除,最后得到f(x)=(x-1)^4-(x-1)^3-14(x-1)^2-8(x-1),此时没有常数项,所以可以被

f(x)=2x^4-x^3-8x^2+x+6有三个整数根,则第4个根是(-3/2)
(0)据韦达定理,其整根是6的约数.考虑分别用-1,1,2,-2,3,-3,6,-6代入,到2时发现已找到3个整根-1,1,2.暂停,换镜头.
(1)综合除法(这里用简式)：
-) 1|2 -1 -8 1 6
-)-1|2 1 -7 -6 0
-)-2|2 -1 -6 0
2 3 0
注：
AAA 设f(x)=Anx^n+…+A1x+A0（式1）(其中Ai表示系数)有根X1,…,Xn即f(Xi)=0
易见：f(x)=An(x-X1)…(x-Xn)（式2）.
展开式2,比较系数即得韦达定理,其特例：常数项为A0=AnX1X2…Xn.可见X1,…,Xn如果为整根,必是A0的约数.
BBB 关于综合除法的简化记法:
B1中间步骤使用心算或在草稿上完成,不写入步骤内.
B2一般,中间过程中可能用减法.也可以先将根值取相反数,再用加法.
BBB相关:外一则
数学上最重要的是创新,不妨采用个人的风格.当然发布时要说明.不妨自己先用,然后推广,如果有效,终究会被别人所认同.

设f（x）=x^2+mx+n(m,n为整数)
既是x^4+6x^2+25的因子 ,是3x^4+18x^2+75的因子
又是3x^4+4x^2+28x+5的因子,
也是3x^4+18x^2+75-（3x^4+4x^2+28x+5）=12x^2-28x+70的因子
12x^2-28x+70=12（x^2+mx+n)=12x^2+12mx+12n
12m=-28,m=-7/3
12n=70,n=35/6

设多项式为 (3x+1)*(2x-3)*A=ax^2+6x^2-47x-15
再分解去想办法吧!

-3/2是第四个选项.这道题其实是用代入法解.可以分别把四个根代入原多项式,看看结果是否为0.由余式定理,f(x)除以x-a的余式是f(a).若f(a)=0,则x-a就是f(x)的一个因式（因式定理）.
所以,由综合除法算出来的余式,就是把相应的值代入原多项式得到的结果.完全没有必要用什么综合除法.

因式分解
因式分解（factorization）
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.
②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
a -----/b ac＝k bd＝n
c /-----d ad＋bc＝m
※ 多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.
经典例题：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

把X提出来,剩下的继续综合除法,没影响

若f1（x)不是整系数多项式,而x-a是整系数多项式,且最高次项系数为1,则f（x)不是整系数多项式,矛盾；若a是整系数多项式f（x）的根,当且仅当存在整系数多项式p（x）,满足,f（x）=（x-a）p（x）,这是定理.

4、由题意假设：f(X)/(X-2)=A+5
f(X)/(X+3)=B-5
f(X)/(X-2)(X+3)=(1/5)[(f(X)/(X-2))-(f(X)/(X+3))]
=(A+5-B+5)/5=[(A-B)/5]-2
5、X^2-3X+2=(X-2)(X-1)
f(X)/(x^2-3X+2)=f(X)/[(X-2)(X-1)]=A+(2x-3)
f(X)/(X-2)=[A+(2x-3)](X-1)

两者本质上是一样的,在做长除法时对应次项的系数做减法,而综合除法中是加上相应相反数.但是综合除法可以少写很多字符,极大地提高了效率,用分离系数法也可以不写字母,只写系数,但是综合除法把那些预先就可以判断为相同的项也省略了,进一步减少了书写量,提高了书写速度和运算效率.
另外,综合除法可以节省很多纸面空间.

x² -2x + 7
——————————
x+2 | x³ + 0x² + 3x + 2
x³ + 2x²
——————————
- 2x² + 3x + 2
- 2x² - 4x
——————————
7x + 2
7x + 14
——————————
- 12
x³+3x+2= (x²-2x+7)(x+2)-12
x³+3x+2 (x²-2x+7)(x+2)-12 12
———— =——————————=x²-2x+7- ———
x+2 x+2 x + 2