lim（x→ 0）(tanx-sinx)/xsinx^2

lcq06222022-10-04 11:39:541条回答

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一岁一带钩共回答了15个问题 | 采纳率80%: 先等价无穷小代换：
lim（x→ 0）(tanx-sinx)/xsinx^2
=lim（x→ 0）(tanx-sinx)/ x^3
原式=lim (sin/cosx - sinx)/x³
= lim sinx(1-cosx)/(x³cosx)
注意 x与sinx是等价无穷小
1-cosx 与 x²/2是等价无穷小【1-cosx=2sin²（x/2）~2*（x/2）²=x²/2】
所以
原式= lim (x * x²/2)/(x³cosx)
=lim 1/(2cosx)
=1/2
也可以：
lim[x→0] (tanx-sinx)/x³
=lim[x→0] (sinx/cosx-sinx)/x³
=lim[x→0] (sinx-sinxcosx)/(x³cosx)
=lim[x→0] sinx(1-cosx)/(x³cosx)
=lim[x→0] sin³x(1-cosx)/(x³sin²xcosx)
=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/(sin²xcosx)
=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/[(1-cos²x)cosx]
=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/[(1+cosx)(1-cosx)cosx]
=lim[x→0] (sinx/x)³·1/[(1+cosx)cosx]
=1·1/(1+1)
=1/2; 1年前

求极限lim(x趋向于0) (x-tanx)/xsinx^2 rain_online1年前1: 夜阑凭栏共回答了8个问题 | 采纳率87.5%

lim(x-tanx)/xsinx^2
=lim(x-tanx)/(x * x^2 * sinx^2 / x^2) 等价无穷小量:
=lim(x-tanx)/(x * x^2)
=lim(1/x^2 - sinx/x * 1/[x^2 * (cosx)]
=lim(1 - secx)/x^2 罗必塔法则：
=lim(-tanxsecx)/2x 罗必塔法则：
=-1/2limsecx(tan^2 x + sec^2 x)
=-1/2

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