设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一

tyou1042022-10-04 11:39:541条回答

设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一
"这说明aa‘的秩为1.这样 aa' 的特征值正好是n-1个0,有一个不为0"怎么来的?

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睡神01 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%: 要点：如果rank(B)=1,那么Bx=0有n-1个线性无关的解,说明0有n-1个线性无关的特征向量; 1年前

设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一? 设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一? xxT有n-1个特征值为0怎么得来? 弦外音_1年前1: kylaoshu364 共回答了15个问题 | 采纳率100%

特征值为0的意思是对某列向量y,有xxTy=0
xxTy=x(xTy)
而xTy=x1y1+x2y2+……+xnyn ∈R1 也就是是一个系数
于是xxTy=0 当且仅当xTy=0 (因为x不为零向量)
下面就是要解出y.
x1y1+x2y2+……+xnyn=0 ,1个式子n个未知数（这里y是未知数x是已知数）
系数矩阵为 xT rank(xT)=1
所以y有n-1个线性无关的解.也就是对应有n-1个特征向量,对应就是有n-1个特征值为0

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设α是n维非零实列向量,λ是一个非零实数,构造n阶实对称矩阵A,使得r(A)=1,并且α是A的特征向量特征值λ cyy11711年前1: gwyfy 共回答了28个问题 | 采纳率92.9%

A=b*(aa^T)/(a^Ta),b就是特征值.

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设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一 设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一 “这说明aa‘的秩为1.这样 aa' 的特征值正好是n-1个0,有一个不为0 ”怎么来的? 剑客方无病1年前1: cheapmi 共回答了29个问题 | 采纳率93.1%

具体地说,xxT可以看成（x1x,x2x.xnx）,极大线性无关组只有一个,所以秩是1
笼统的说,矩阵的秩代表矩阵中线性无关的向量的个数,xxT这个矩阵是由一个x向量衍生而来的,所以秩是1

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设a是n维非零实列向量,矩阵A=E+aaT(a的转置),n>=3,则A有几个特征值为1? yuanshao4261年前1: lingdnjetx 共回答了20个问题 | 采纳率90%

这里,先给说一个结论,很好证的就是
如果x是阵C的特征值,那么E+C的特征值为 1+x
a≠0,可以知道 aa'（a‘表示转置）也不会为0,而 r(aa')

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设A为n阶正定矩阵（n>=2),a是n维非零实列向量，令矩阵B=Aaa^T 设A为n阶正定矩阵（n>=2),a是n维非零实列向量，令矩阵B=Aaa^T (1)求B的秩： (2)Aa是否是B的特征向量？并说明理由： (3)B是否可对角化？为什么？ yuyue5671年前1: kai99xin 共回答了28个问题 | 采纳率89.3%

(1) 注意B=(Aa)a^T
(2) 不解释
(3) B所有的特征向量都可以算出来

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如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置 如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置 从特征值和特征向量方面分析？ flowerinsea1年前3: zhangrong_1012 共回答了13个问题 | 采纳率100%

可以直接计算的.
设X^T=(x1,x2,...,xn),Y^T=(y1,y2,...,yn),
An=det（E+X*Y^T）
1+x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn 按第1列分成两个行列式
= x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
.
xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
1 x1y2 x1y3 .....x1yn x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
0 1+x2y2 x2y3 ....x2yn x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn
= 0 x3y2 1+x2y3 .x3yn + x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
..
0 xny2 xny3 .1+xnyn xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
对第1个行列式按1列展开后的n-1阶行列式,与原来的的An结构一样,记为A(n-1)
对第2个行列式,第1列提个y1出来后,将第1列乘以-y2,-y3,...,-yn,分别加入第2,3,...n列.得一个三角形行列式,计算其值为x1y1(对角线上的元素为x1,1,1,.,1)
这样：An=A(n-1)+x1y1=A(n-2)+x1y1+x2y2,
一直下去,注意最后一个行列式A1=1+xnyn
于是：An=1+x1y1+x2y2+...+xnyn=1+X^T*Y.
即：det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y

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