若3A+4B+5C=0,则直线Ax+By+C=0必通过定点?

因为3a+4b+5c=0 所以3a+4b=-5c 所以9|a|^2+16|b|^2+24ab=25|c|^2 因为lal=lbl=lcl=1 所以ab=0……（1） 因为3a+5c=-4b 所以9|a|^2+25|b|^+30ac=16|b|^2 因为lal=lbl=lcl=1 所以30ac=-18 ac=-0.6……（2） a（b+c） =ab+ac 根据（1）（2） ab+ac=-0.6

当1/(a+b)=1/(b+c)=1/(c+a),即a=b=c时
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)有最小值
3a+4a+5a=1,a=b=c=1/12,
也就是当a=b=c=1/12时,
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=18为最小值.

设a+b=x,b+c=y,a+c=z,则x+3y+2z=3a+4b+5c=1
由柯西不等式,(1/x+1/y+1/z)(x+3y+2z)≥(1+根号3+根号2)²=6+2*根号2+2*根号3+2*根号6,即1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)≥6+2*根号2+2*根号3+2*根号6
x=根号3*y=根号2*z时等号成立
故1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值为6+2*根号2+2*根号3+2*根号6