∠A=90°,DE是斜边BC的垂直平分线,且与边AC、BC分别交于D、E两点,若∠ABD=∠C+6°,求∠BDC的度数

连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD=BD=DC,且AD⊥BC
∵DE⊥DF,
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE=∠CDF
又∠DAE=∠DCF=45°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=5
∵AF=AC-CF=AB-AE=BE=12
在△AEF中,由勾股定理,可求得EF=13
∵△ADE≌△CDF
∴DE=DF
在△DEF中,有勾股定理得DE²+DF²=DE²=13²=169
∴2DE²=169
∴DE²=169/2
∴△DEF的面积=二分之一DE²=169/4

数学之美团为你解答延长ED到P,使DP=DE.∵BD=CD.∴△BED≌△CPD（SAS）.∴BE=CP.又∵DE=DP,∠EDF=∠PDE=90°,DF=DF.∴△DEF≌△DPF(SAS)∴EF=FP.∵∠B=∠DCP,∠A=90°.∴∠B+∠ACB=90°.∴∠ACB+∠DCP=90°.∴RT△FCP...

因为∠ABC=30°,所以a到bc的距离=½ab=0.5
所以A（x,0.5） 因为点A在反比例函数Y=根号3/x的图像上,
所以0.5=根号3/x.x=12.设a到bc的垂足为d ad=0.5 cd=0.5×tan30=0.5/根号3
所以c（12+0.5/根号3,0）

（1）证明：①∵∠BAC=90°，
AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，


AE=CF
∠EAD=∠DAC
AD=AD
∴△AED≌△CFD（SAS）；

②∵△AED≌△CFD，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）△DEF为等腰直角三角形，
理由：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，


AE=CF
∠BAD=∠C
AD=CD ，
∴△AED≌△CFD（SAS）；
∴DE=DF∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．

解题思路：（1）利用点D是斜边BC的中点，可以得到AD⊥BC，而DE⊥DF，结合它们就可以证明∠1=∠2；
（2）利用等腰直角三角形ABC的性质及∠1=∠2可以证明△ADE≌△CDF；
（3）根据（2）可以得到S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF=S_△ACD=[1/2]S_△ABC，然后再求出四边形AEDF的面积．

证明：（1）∵AB=AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC． （1分）
∴∠2=90°-∠ADF．
∵DE⊥DF，
∴∠1=90°-∠ADF．
∴∠1=∠2． （2分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵点D是BC中点，
∴∠DAC=∠EAD=[1/2]∠BAC=45°．
∴∠C=∠EAD=∠DAC．
∴AD=CD． （4分）
在△ADE和△CDF中


∠1＝∠2
AD＝CD
∠EAD＝∠C，
∴△ADE≌△CDF（ASA）．（6分）

（3）∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF（7分）
∴S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF
=S_△ACD=[1/2]S_△ABC（8分）
=[1/2]×[1/2]×8×8=16cm²（9分）

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质，也利用全等三角形的性质与判定，有一定综合性．

面积为4平方厘米...最简单的可用特值法,假设p点和D点重合,皆可做出

证明：若E、F分别为AB、AC上的中点
则：△DEF的周长=DE+EF+FE=1/2△ABC的周长
∵Rt△ABC,
∴ AC+AB＞BC（直角三角形斜边＞两直角边之和）
∴BC＜1/2△ABC的周长
所以△DEF的周长大于BC

延长ED,使DG=ED,连接CG, FG
因为D是BC的中点
所以CD=BD
因为角CDG=角BDE（对顶角相等）
所以三角形CDG和三角形BDE全等（SAS)
所以CG=BE
角ABC=角DCG
所以AB平行CG
所以角BAC+角FCG=180度
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=90度
所以角FCG=90度
所以三角形FCG是直角三角形
所以由勾股定理得：
FG²=CF²+CG²
所以FG²=BE²+CF²
因为DE垂直DF
所以角EDF=90度
因为角EDF+角GDF=180度
所以角GDF=90度
所以角EDF=角GDF=90度
因为DG=ED
DF=DF
所以三角形EDF和三角形GDF全等（SAS)
所以EF=FG
所以BE²+CF²=EF²
所以：EF²=12²+5²,
即EF=13
希望帮到你,请采纳,谢谢!

初中的方法
∵|BC|=m,|OB|=|OC|,|OP|=|OQ|=n,
∴|OB|=|OC|=1/2m,|PQ|=2n,|BP|=|OB|-|OP|=1/2m-n,|CQ|=|OC|*|OQ|=1/2m-n,
做AD⊥BC,在Rt△ADP、Rt△ADQ、Rt△ABC中,有
|AP|^2+|AQ|^2+|PQ|^2=||^2
|AD|^2+|DP|^2+|AD|^2+|DQ|^2+(2n)^2=
|AD|^2+|BD-BP|^2+|AD|^2+|CD-CQ|^2+4n^2=
|AD|^2+|BD|^2-2|BD||BP|+|BP|^2+|AD|^2+|CD|^2-2|CD||CQ|+|CQ|^2+4n^2=
|AB|^2-2（1/2m-n）|BD|+（1/2m-n）^2+|AC|^2-2（1/2m-n）|CD|+（1/2m-n）^2+4n^2=|AB|^2+|AC|^2-（m-2n）（|BD|+|CD|）+2(1/4m^2-mn+n^2)+4n^2=|BC|^2-（m-2n）|BC|+1/2m^2-2mn+6n^2=m^2-（m-2n）m+1/2m^2-2mn+6n^2=1/2m^2+6n^2

∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,
连接AD,必有AD=BD=DC,
∠BAD=∠CAD=∠ACD=45°,
还有∠ADC=90°.
∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∠EDA=∠FDC,
得△EDA≌△FDC(aSa),AE=CF=5;；
DE=DF,△DEF是等腰直角三角形.
∵AB=AC,AE=CF,∴AF=BE=12,
在rt△EAF中,EF²=5²+12²=169,
△DEF的面积S=EF²/4=169/4=42又1/4.

解题思路：利用余弦定理，求出|AP|²、|AQ|²，结合∠AOP+∠AOQ=180°，即可求|AP|²+|AQ|²+|PQ|²的值．

由题意，OA=OB=[m/2]，OP=OQ=n
△AOP中，根据余弦定理AP²=OA²+OP²-2OA•OPcos∠AOP
同理△AOQ中，AQ²=OA²+OQ²-2OA•OQcos∠AOQ
因为∠AOP+∠AOQ=180°，
所以|AP|²+|AQ|²+|PQ|²=2OA²+2OP²+PQ²=2（[m/2]）²+2n²+（2n）²=
m2
2+6n²．

点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD=BD=DC,且AD⊥BC
∵DE⊥DF,
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE=∠CDF
又∠DAE=∠DCF=45°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=5
∵AF=AC-CF=AB-AE=BE=12
在RT△AEF中,由勾股定理,
EF²=AE²+AF²
=5²+12²
=13²
∴EF=13

矩形

角FGE=45度=角BGD=角ABC=角C
角EBC=角DBG,所以三角形BDG相似于BCE.
所以BD/BG=BE/BC,所以,BG*BE=2BD^2=BA^2
所以BG/BA=BA/BE所以角BAC=角BGA=90度.
AG垂直BE.
EF：FD=FD：FC=1：厂3

证明：连结AD.
因为 AB=AC,D是BC的中点,
所以 AD垂直于BC,角ADC=90度,
因为 角EDF=90度,
所以 角ADF=角CDE,
因为 角A=90度,AB=AC,D是斜边BC的中点,
所以 AD=CD=BC/2,角CAD=角C=45度,
所以 三角形ADF全等于三角形CDE,（角,边,角）
所以 DF=DE,
又因为 角EDF=90度,
所以 三角形DEF为等腰直角三角形.

在等腰直角三角形BMD中,MD=BM=2
在等腰直角三角形CND中,DN=CN=3
在直角三角形MDN中,DN=3,MD=2,求得MN=√13

首先,纠正下楼主,是不是BF=3
是的话,解题如下：
作DG⊥AB于G,连结FD,
由AD=BD得∠DAB=∠B,
又∵∠DAB=∠FCA,∴∠FCA=∠B,
又∵∠CAF=∠BAC,∴△ABC∽△ACF,
∴AC²=AF*AB,
∴AC=2,
∴CF=√5,BC=2√5,AD=√5,
由AE*CF=AF*AC得2/√5,
∴DE=AD-AE=3√5/5

不可能
r=m/2时,|AP|^2+|PQ|^2=AC^2+BC^2
r=0时,|AP|^2+|PQ|^2=BC^2/4
|AP|^2+|PQ|^2随着n的增大而增大

用ASA证明三角形BDE全等于三角形ADF，可得出DE=DF，AF=12，同理可得AE=5，由勾股定理得出EF=13，所以可得出面积4分之169

连接DA,据题意,角ADC为直角.
因为角EDF=90度,角ADC=90,即角EDF=角ADC
两边同时减去角ADF得:角EDA=角FDC(1).
D是BC中点,所以角BAD=角DAC=角ACB=45度(2).
由(2)得AD=DC(3)
由(1)(2)(3)可证第一小题.
由(1)(2)(3)也可证AE=FC,同理亦可证明AF=EB
因为角A为直角,可得AE²+AF²=EF²,即FC²+EB²=EF².
第三题:由题意得:三角形ABC面积为14*14/2=98
在前面的证明中,已知三角形AED全等于三角形CFD,三角形AFD全等于三角形BED.那么四边形AEDF面积为三角形面积的一半,即98/2=49,而三角形AEF面积为6*8/2=24
可得三角形DEF面积为49-24=25.
以上为解题思路,具体的自己动手做下吧.

连接AD,
∵AB=AC,三角形ABC是等腰直角三角形,D是斜边BC的中点,E
∴AD是高,中线,角平分线
即∠ADB=∠ADC=90°
∠DAC=∠DAB=45°
即∠DAF=∠B=45°
∠DAE=∠C=45°
∵∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°
∠BDE+∠EDA=90°
∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADF=∠BDE,∠EDA=∠CDF
∵AD=BD,AD=CD
∴△ADF≌△BDE,△ADE≌△CDF
∴AF=BE=2
AE=CF=5
∴在Rt△AEF中：EF²=AE²+AF²=5²+2²=29
EF=√29

证明：连接AD
∵∠BAC＝90,AB＝AC
∴∠B＝∠C＝45
∵D是BC的中点
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC/2＝45,AD⊥BC （三线合一）,AD＝BD＝CD （直角三角形中线特性）
∴∠B＝∠CAD,∠C＝∠BAD,∠ADE+∠BDE＝90, ∠ADF+∠CDF＝90
∵∠EDF＝90
∴∠ADE+∠ADF＝90
∴∠ADF＝∠BDE,∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF,△ADF≌△BDE （ASA）
∴S△ADE＝S△CDF,S△ADF＝S△BDE
∵S四边形AEDF＝△ADF+△ADE
∴S四边形AEDF＝△BDE+△CDF

（1）OD+DA=2
（2）因为OD=DA=1始终不变，所以当O、D、A三点在一直线上时，OA最长等于2，这时，四边形OBAC的对角线相交于点D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，所以四边形OBAC是矩形，因为AB=AC，所以它是正方形。（其他说法，比如可以说明对角线互相垂直平分且相等也可以的。）
（3） A（ ， ） y=x。

略

（手机不会打符号,就直接说了）
D是BC中点所以AD是中线,ABC是等腰三角形,所以AD=BD=DC(等腰三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又因为三线合一,所以AD垂直BC因为AD=CD=BD,所以ADB,ADC皆为等腰直角三角形,所以角C等于角1.因为DE垂直DF,所以角三+角四=角二+角三=90度,所以角二等于角四,所以两三角形全等（ASA）手机打字不容易,

解题思路：在Rt△ABC中，D是斜边BC上的一点，BD=CD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答此题．

∵在Rt△ABC中，D是斜边BC上的一点，BD=CD，
∴AD=[1/2]BC，
BC：AD=2：1．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 直角三角形斜边上的中线．

考点点评： 此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．

做辅助线连接A,D两点；
根据等腰直角三角形三线合一和其他性质：角B=角FAD,BD=AD,角BDA=90度,角EDF=90度,所以角BDE=角ADF,所以三角形BDE与三角形ADF全等,所以AF=BE=12；
同理可得,三角形ADE与三角形CDF全等,所以AE=CF=5,有勾股定理：EF=13；
三角形aef的周长=17+13=30；

解题思路：（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；
（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；
（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．

（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠1＝∠B
AD＝BD
∠2＝∠4，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）同理可证，△ADE≌△CDF，
所以，S_{四边形AEDF}=S_△ADF+S_△ADE=S_△BDE+S_△CDF，
即S_{四边形AEDF}=S_△BDE+S_△CDF；
（3）仍然成立．如图，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°，
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠DAF＝∠DBE
AD＝BD
∠2＝∠4，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．

点评：
本题考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

利用三角形ADE全等于三角形CDF.因为等腰直角三角形ABC,AD为BC中线,所以AD垂直于BC,即角ADC=ADF+FDC=90度,因为DE垂直于DF,所以角EDF=EDA+ADF=90度,所以角EDA=角FDC.因为等腰直角三角形ABC,AD为中线,所以AD=1/2BC=DC....

1.根据三角形相似 ADC 相似 BAC
AD/AC = BA/BC = cosB = 4/5
AC = 5
2.sin²α+cos²α/2cos²α+2sinαcosα
上下同除cos²α
=tan^2a+1/2+2tana
=1/4+1/2+1
=5/4/3
=5/12
3.
设:x的平方-4x+m=0 的两个正整数根分别为x1,x2
则:x1+x2=4, 又c-aa=b
∴cosA=(5/2)/3=5/6===>sinA=√11/6
∴tanA=√11/5

连接AD.设ED=x
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠EBD=∠FCD=45°.
∵∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD=BD=CD=1/2BC,
∵AB=AC,D为BC中点.∴AD⊥BC且AD平分∠BAC.∴∠ADB=∠ADC=90°.∠FAD=∠EAD=45°,∴∠EBD=∠FAD,∠FCD=∠EAD.
∵DE⊥DF.∴∠EDF=90°.
∵∠EDB+∠EDA=∠ADB=90°,∠FDA+∠EDA=∠EDF=90°.∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠EDB=∠FDA.∴△EDB≌△FDA（ASA）
∴BE=AF=5,ED=FD.
∵∠EDA+∠ADF=∠EDF=90°,∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°.∴∠EDA=∠FDC
在△EDA和△FDC中,∠EAD=∠FCD,AD=CD,∠EDA=∠FDC.∴△EDA≌△FDC（ASA）.∴AE=CF=12.
在RT△EAF中,∠BAC=90°,EF²=AE²+AF²=12²+5²=169,EF=13.
在RT△EDF中,∠EDF=90°,EF²ED²+FD²=2x²=169,解得x=13√2/2..
∴S△EDF=13√2/2*13√2/2/2=169/4

解题思路：连接AD，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出AD=BD，∠FAD=∠B=45°，求出∠ADF=∠EDB，证△ADF≌△BDE，根据全等三角形的性质推出即可．

证明：连接AD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，
∴AD=BD，∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠ADF=∠EDB=90°-∠ADE，
在△ADF和△BDE中，


∠FAD＝∠B
AD＝BD
∠ADF＝∠EDB
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DE=DF．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．

连AD、EF,可证△ADE≌△CDF,△ADF≌BDE,所以DE=DF,AE=CF=5,AF=BE=12,由勾股定理可得EF=13,DE=DF=6.5乘根号2,
S△DEF=169/8.

1.有一个桌子,它的长为1.5M,宽为1M,高为0.75M,桌子的中央B处有一块糖,在桌子角A处有一只小蚂蚁要找到这块糖,则它所行走的路线最短为多少?
两点之间,线段最短.蚂蚁当然会走直线了!糖在桌子中央,那么从桌子中点处做边缘的垂线.分别为1.5/2m和1/2m,这两条是三角形的直角边.斜边为它们平方的和再开方,答案为2分之根号13.
2.学校计划把一块形状为
直角三角形(如图所示)的废地开辟
为生物园,已知∠ACB=90°,AC=80m,BC=60m,
①若入口E在边AB上,且与A,B
等距离,求从入口E到出口C的
路线的长;
②若D点在AB边上,线段CD是一条水渠,且水渠的造价为50元/米,求D点距A点多远时,此水渠的造价最低,最低造价为多少元
通过点E做bc边的垂线,与bc交于f
因为 ef垂直于cb、ac垂直于bc
所以 ef平行于ac
所以 三角形acb与三角形efb相似
因为 e为ab重点
所以eb=1/2ab
所以 ef=1/2ac=40m
根据勾股定理得ec=50m
（其实因为e为直角三角形斜边上的中点,直接可推出ae=eb=ec）
3.1)三角形ABC,角A=1/2角B=1/3角C,它的最长边为10,则此三角形的最短边是?
2)等腰三角形中,一边长为4,另一边长为9,则这个三角形的面积是?
3)等边三角形面积为8倍根号3,它的边长是?
1.5
2.高等于根号下81-4＝根号下77
面积＝（4*根号下77）/2
＝2*根号下77
3.等边三角形的面积＝（边长的平方*根号3）/2
所以,8*根号3＝（边长的平方*根号3）/2
边长＝4
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________；②若a=15,c=25,则b=___________；③若c=61,b=60,则a=__________；④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________.
5．在由小方格组成的网格中,用数格子的方法判断出给定的钝角三角形和锐角三角形的三边不满足两边平方和等于第三边的平方,由此可想到________________________________________________.
6．直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________.
7．在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m.
8．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
9．已知：如图,△ABC中,∠C = 90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC = 8cm,CA = 6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于 cm
10小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?

连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点
∴∠DAE=∠DAC=∠C=45º,AD⊥BC
∴AD=CD
∵DE⊥DF
∴∠ADC=∠EDF=90º
∴∠ADE=∠FDC
∴△ADE≌△FDC
∴DE=DF
或
1).角BAC=90,AB=AC,角B=45.D是BC中点,AD是顶角平分线,角DAF=BAC/2=90/2=45=B.2).AD是底边上中线,斜边上中线,AD=BC/2=BD.3).AD是底边上的高,角BDA=90,则角BDE=90-EDA.ED丄DF,角EDF=90,角ADF=90-EDA=BCE.4).三角形BCE全等于ADF(ASA),得对应边DE=DF.

如果没有学习过三角形全等,仅用勾股定理即可；
连接DB,
AB^2=DB^2-DA^2=DB^2-DE^2=BE^2=CE^2
AB=CE=BE,
AB=CB/2,∠C=30°；
CD=2DE=2AD.

△AED与△DFC全等（∠EAD＝∠DCF；AE＝DC；∠EDA＝∠FDC＝90－∠ADF）,所以AE＝CF＝5,所以三角形两腰长为17 ．再分别算出其他3个三角形面积,得三角形DEF＝42.25

∵AB=6cm,AC=8cm
∠A=90°
∴BC=√﹙6²+8²)=10㎝
∵D是斜边BC的中点
∴AD=5cm

因为BE=EC,所以BD=DC,角DBE=角ECD.
设角DCE=X
则:X+X+X+6=90度,X=27度
所以:角BDC=2*(90-27)=126度

1 由题：在直角三角形ABC中,D是斜边BC的中点,
易证：角BCA=角DAB
又角EDF=角ADC=90度
易有：角ADE=角CDF
而AD=DC
三角形ADE全等于三角形CDF
AE=CF=5,BE=12,所以AC=AB=17
所以S(ABC)=17*17/2=289/2
S(EDF)=S(ABC)-(S(BDE)+S(CDF))-S(AEF)
=289/2-289/4-30
=169/4
2 证：在BC上取点P使CP=CM,连接PM,AP
易证：三角形APM全等于三角形BMP
所以AP=BM=NM
因为角MBN=角N,角MCB=角MPN
三角形MBC全等于三角形MNP
所以BP=BC-PC=PN-CP=CN
有AM=BP=CN

三角形BED全等于AFD
AB=12+5=17 AD=17/2
△DEF的面积=AD方/2

解题思路：（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；
（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；
（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．

（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠1＝∠B
AD＝BD
∠2＝∠4，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）同理可证，△ADE≌△CDF，
所以，S_{四边形AEDF}=S_△ADF+S_△ADE=S_△BDE+S_△CDF，
即S_{四边形AEDF}=S_△BDE+S_△CDF；
（3）仍然成立．如图，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°，
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠DAF＝∠DBE
AD＝BD
∠2＝∠4，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．

点评：
本题考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

连接AD
∵D为中点,AB=AC
∴AD⊥BC,∠BAD=∠DAC
∴∠ADE=∠FDC,AD=DC
∴∠DAC=∠C
∴∠BAD=∠C
∴△EDA全等于△DFC（ASA）
∴AF=12,AE=5
∵∠EAF=90°
∴EF=13

连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD=BD=DC,且AD⊥BC
∵DE⊥DF,
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE=∠CDF
又∠DAE=∠DCF=45°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=5
∵AF=AC-CF=AB-AE=BE=12
在△AEF中,由勾股定理,可求得EF=13
∵△ADE≌△CDF
∴DE=DF
在△DEF中,有勾股定理得DE²+DF²=DE²=13²=169
∴2DE²=169
∴DE²=169/2
∴△DEF的面积=二分之一DE²=169/4

AD=0.5*(AB+AC)
BC=AC-AB
由于AC与AB垂直,所以
BC的模=AC的模^2+AB的模^2-0,
2AD的模=AC的模^2+AB的模^2+0,
所以BC的模=2AD的模
即向量AD的模=½向量BC的模