实系数方程ax2+bx+c=0,a不等于0,两实根异号的充要条件为什么,有两个负根的充要条件是什么

根据题意可得
ax³+bx²+cx+d
=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=a（x²-xx₁-xx₂+x₁x₂）（x-x₃）
=a（x³-x²x₁-x²x₂+xx₁x₂-x²x₃+xx₁x₃+xx₂x₃-x₁x₂x₃）
=ax³-a（x₁+x₂+x₃）x²+a（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-ax₁x₂x₃，
∴b=-a（x₁+x₂+x₃），d=-ax₁x₂x₃，
即得x₁+x₂+x₃=-[b/a]，x₁x₂x₃=-[d/a]．
故答案为：-[b/a]，-[d/a]．

点评：
本题考点： 根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了根与系数的推广，根据题目信息提供的解题思路，把方程写成用根的形式表示，再根据多项式的乘法整理成一般形式是解题的关键，难度中等．

证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c＝0
−ax22+bx2+c＝0
设f（x）=[a/2]x²+bx+c，
则f（x₁）=[a/2]x₁²+bx₁+c=-[a/2]x₁²，
f（x₂）=[a/2]x₂²+bx₂+c=[3a/2]x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-[3/4]a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程[a/2]x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．

证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c＝0
−ax22+bx2+c＝0
设f（x）=[a/2]x²+bx+c，
则f（x₁）=[a/2]x₁²+bx₁+c=-[a/2]x₁²，
f（x₂）=[a/2]x₂²+bx₂+c=[3a/2]x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-[3/4]a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程[a/2]x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．

证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c＝0
−ax22+bx2+c＝0
设f（x）=[a/2]x²+bx+c，
则f（x₁）=[a/2]x₁²+bx₁+c=-[a/2]x₁²，
f（x₂）=[a/2]x₂²+bx₂+c=[3a/2]x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-[3/4]a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程[a/2]x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．