设f(x)=log22x+5log2x+1,若f(α)=f(β)=0,α≠β,则α β=

log4x=(1/2)log2x
设t=log2x,g(t)=f(x)=t^2-2t+5,t属于[1,2]
g(t)=(t-1)^2+4 t=1时最小值,为4.t=2时最大值,为5

解题思路：先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据

AD

=

BC

，求出点D的坐标．

由题意可得，A、B、C点坐标分别为(
1
2，2)，（4，2），(4，
1
4)，设 D（m，n），
再由矩形的性质可得

AD=

BC，故 （m-[1/2]，n-2）=（0，-[7/4]），
∴m-[1/2]=0，n-2=-[7/4]．
解得 m=[1/2]，n=[1/4]，故点D的坐标为（[1/2]，[1/4]），
故答案为 （[1/2]，[1/4]）．

点评：
本题考点： 指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质；幂函数的性质．

考点点评： 本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题．

log2(x+4/x)≥log22x
因为log2 x是单调增函数
所以要解不等式
即要解不等式组
2x>0
x+4/x>0
x+4/x≥2x
解得0

解题思路：由f（x）=log₂2x=1+log₂x，知f（1）=1，故A不成立；由g（x）=2-（[1/2]）^x，知g（0）=2-（[1/2]）⁰=1，故C和D不成立．

∵f（x）=log₂2x=1+log₂x，
∴f（1）=1，故A不成立；
∵g（x）=2-（[1/2]）^x，
∴g（0）=2-（[1/2]）⁰=1，故C和D不成立．
故选B．

点评：
本题考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．

考点点评： 本题考查对数函数的图象和性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意函数图象的平移变换的灵活运用．

解题思路：（1）由x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，能够推导出y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）由y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n，知

xn+1

xn

＝

26−n

27−n

＝

1

2

，由此能够证明数列{x_n}为等比数列．
（3）Sn＝

26(1− 1 2n )

1− 1 2

＝128(1−

1

2n

)＜128

lim

n→∞

Sn＝128，由此能求出a的取值范围．

（1）∵x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，
∴log₂x₁+log₂x₅=8，log₂x₁•log₂x₅=12，
∵等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，
∴log₂x₁=6，log₂x₅=2．
y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）∵y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n
∴
xn+1
xn＝
26−n
27−n＝
1
2，
∴数列{x_n}为等比数列．
（3）Sn＝
26(1−
1
2n)
1−
1
2＝128(1−
1
2n)＜128
lim
n→∞Sn＝128，
故所求a的取值范围为a≥128．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；根与系数的关系；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查通项公式的求法、等比数列的证明和实数a的取值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．