(几何证明选讲)如图,AB、CD是圆O的两条弦,且AB是线段CD的中垂线,已知AB=10,CD=8,则线段AC的长度为4

jackal_jojo2022-10-04 11:39:541条回答

(几何证明选讲)如图,AB、CD是圆O的两条弦,且AB是线段CD的中垂线,已知AB=10,CD=8,则线段AC的长度为
4
5
4
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markho123 共回答了12个问题 | 采纳率100%
解题思路:利用相交弦定理和勾股定理即可得出.

设AB与CD相交于点E,∵AB是线段CD的中垂线,∴CE=ED=4,
据相交弦定理可得:AE•EB=CE•ED,∴AE•(10-AE)=42,化为AE2-10AE+16=0,解得AE=8(由图可得AE>EB).
在△ACE中,由勾股定理可得AC=
AE2+CE2=
82+42=4
5.
故答案为4
5.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握相交弦定理和勾股定理是解题的关键.

1年前

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(2)设圆的半径为1,BC=根号3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径
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如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O外一点,且AC=AB,BC交⊙O于点D.
已知BC=4,AD=6,AC交⊙O于点E,求四边形ABDE的周长.
ziwuya5211年前1
叫哥即可 共回答了26个问题 | 采纳率96.2%



由题意,可由AB是⊙O的直径及AC=AB得出D是中点,由此求得BD,BC的值,再∠DEC=∠B得出∠DEC=∠C,即可求出DE,由图形可得出CE•CA=CD•CB,由此方程解出AE,再求周长即可.
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AB=AC=
,则
∴DE=2
∴四边形ABDE的周长

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5
,则线段AC的长度为
30
30
dypan_2123001年前1
acczz 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
解题思路:利用相交弦定理可得AE•EB=CE•ED,即可求出AE,再利用勾股定理即可得出AC.

设AB与CD相交于E点,利用相交弦定理可得AE•EB=CE•ED,∴AE(6-AE)=(
2
5
2)2,化为AE2-6AE+5=0,
解得AE=5或1,取AE=5,则AC=
AE2+CE2=
52+(
5)2=
30.
故答案为
30.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握相交弦定理和勾股定理是解题的关键.

(2013•未央区三模)(几何证明选讲)以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E,点D在BC上,且DE与圆O
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伤自己1年前1
jund_00 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解题思路:已知∠A=56°,利用外角定理可得∠BOE=112°,因为∠ABC=90°,DE与圆O相切,可得O、B、C、E四点共圆,利用其性质即可得到∠BDE.

连接OE,因为∠A=56°,所以∠BOE=112°,
又因为∠ABC=90°,DE与圆O相切,
所以O、B、C、E四点共圆,
所以∠BDE=180°-∠BOE=68°.
故答案为68°.

点评:
本题考点: 弦切角.

考点点评: 熟练掌握三角形的外角定理、圆的切线的性质、O、B、C、E四点共圆的判定与性质是解题的关键.

(2014•濮阳一模)选修4一1:几何证明选讲
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如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P.E为⊙O上一点,
AC
AE
,DE交AB于点F.
(Ⅰ)证明:DF•EF=OF•FP;
(Ⅱ)当AB=2BP时,证明:OF=BF.
shcqi1年前1
jontyzhang 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
解题思路:(I)利用弧长相等,转化为角相等,通过三角形相似证明:DF•EF=OF•FP;
(II)设BP=a,ly AB=2BP,通过相交弦定理以及数量关系的转化证明:OF=BF.

.(I)证明:因为

AC=

AE,∴∠AOE=∠CDE,∴∠EOF=∠PDF,
又∠EFO=∠PFD,
∴△OFE∽△PFD,∴[OF/DF=
EF
PF],
∴DF•EF=OF•FP;
(II)设BP=a,由AB=2BP,得AO=BO=BP=a,
由相交弦定理得:DF•EF=AF•BF,
∴AF•BF=OF•FP,
∴OF•(a+BF)=(a+OF)•BF,∴OF=BF.

点评:
本题考点: 相似三角形的性质;相似三角形的判定;圆的切线的性质定理的证明;与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查直线与圆的关系,三角形相似以及相交弦定理的应用,考查计算能力与转化思想的应用.

(本小题满分10分,选修4—1几何证明选讲)
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如图, AB 是⊙ O 的直径, C,F 是⊙ O 上的点 ,OC 垂直于直径 AB ,过 F 点作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于 D. 连结 CF AB E 点.
(1)求证: ;
(2)若⊙ O 的半径为 OB = OE ,求 EF 的长.
caria1年前1
bwj123 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%
(1)略
(2) EF =2.

(1)连结 OF .∵ DF 切⊙ O 于 F ,∴∠ OFD =90°.∴∠ OFC +∠ CFD =90°.
∵ OC = OF ,∴∠ OCF =∠ OF C . ∵ CO ⊥ AB 于 O ,∴∠ OCF +∠ CEO =90°.
∴∠ CFD =∠ CEO =∠ DEF ,∴ DF = DE .∵ DF 是⊙ O 的切线,∴ DF 2 = DB · D A .
∴ DE 2 = DB · D A .- ---------------------------------5分
(2) , CO =
∵ CE · EF = AE · EB = ( +2)( -2)=8,
∴ EF =2.……………………10分
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如图,已知 是⊙ 的切线, 为切点, 是⊙ 的割线,与⊙ 交于 两点,圆心 的内部,点 的中点。
(1)证明: 四点共圆;
(2)求 的大小。
基督轮子一回事1年前1
狮子的勇气 共回答了20个问题 | 采纳率100%
(1)略
(2)答案90°

(2012•盐城三模)选修4-1:几何证明选讲:
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如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,
AE
=
AC
,DE交AB于点F.求证:PF•PO=PA•PB.
sdhmhb1年前1
anna1326 共回答了16个问题 | 采纳率100%
解题思路:先证明△PDF∽△POC,再利用割线定理,即可证得结论.

证明:连接OC、OE,则∠COE=2∠CDE



AE=

AC,∴∠AOC=∠AOE
∴∠AOC=∠CDE
∴∠COP=∠PDF
∵∠P=∠P
∴△PDF∽△POC
∴[PD/PO=
PF
PC]
∴PF×PO=PD×PC
由割线定理可得PC×PD=PA×PB
∴PF•PO=PA•PB.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查三角形相似,考查割线定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.

选修4-1:几何证明选讲.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连
选修4-1:几何证明选讲.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积.
男生太花91年前1
小李光花熔 共回答了20个问题 | 采纳率80%
解题思路:(1)连接OE,根据已知中Rt△ABC中,∠ACB=90°,结合切线的性质,我们可证OE∥BC,进而可得△BDF为等腰三角形,进而得到答案.
(2)由(1)中结论,我们易证△AOE∽△ABC,由BC=6,AD=4,我们可以根据相似三角形的性质,构造出关于圆半径r的方程,解方程求出圆的半径,进而可以求出⊙O的面积.

证明:(1)连接OE.
∵AC切⊙O于E,
∴OE⊥AC,
又∠ACB=90°即BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠OED=∠F.
又OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠F,
∴BD=BF.(5分)
(2)设⊙O半径为r,
由OE∥BC得△AOE∽△ABC.
∴[AO/AB=
OE
BC],即[r+4/2r+4=
r
6],
∴r2-r-12=0,解之得r=4,或r=-3(舍).
∴S=πr2=16π.(5分)

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查的知识点是与圆有关的比例线段,其中(1)的关键是添加辅助线,并得到OE∥BC,(2)的关键是证得△AOE∽△ABC,并根据相似三角形的性质,构造出关于圆半径r的方程.

((本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
((本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小。
xzq7981年前1
761205 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%
因为MA是圆O的切线,所以MA 2 =MB·MC………………………………………… …2分
又M是PA的中点,所以MP 2 =MB·MC
因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC……………………………………………………6分
于是∠MPB=∠MCP,
在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP =180°,得∠MPB=20°…………………10分

[选做题]A.(选修4-1:几何证明选讲)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,PA是⊙O的切线,PB交AC于点E,交⊙O于
[选做题]
A.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,△ABC是⊙O的内接三角形,PA是⊙O的切线,PB交AC于点E,交⊙O于点D,若PE=PA,
∠ABC=60°,PD=1,BD=8,求BC的长.
B.(选修4-2:矩阵与变换)
二阶矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).
(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵M-1
(Ⅱ)设直线l在变换M作用下得到了直线m:2x-y=4,求l的方程.
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在极坐标系中,设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=2
的距离为d,求d的最大值.
D.(选修4-5:不等式选讲)
设a,b,c为正数且a+b+c=1,求证:(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2
100
3
kanwoo1年前1
不懂zz 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
解题思路:A.由切割线定理,得到PA2=PD•BD,从而有AE=PA=3,再用弦切角得到∠PAE=∠ABC=60°,可得△PAE是边长为3的等边三角形.然后在△ADE中利用余弦定理,算出得AD=
7
,最后利用△AED∽△BEC,由对应边成比例得到BC=2AD=2
7

B.(Ⅰ)设M=
a
c
,利用矩阵乘法的法则,结合题意列出关于a、b、c、d的方程组并解之,可得矩阵M,再用二阶矩阵逆矩阵的公式,可算出矩阵M的逆矩阵M-1
(Ⅱ)设l上的点(x,y)被M变换为m上的点(x',y'),根据矩阵变换的公式找到用x、y表示x'、y'的式子,再将此对应的点的坐标代入直线m方程,化简整理即得直线l的方程.
C.圆ρ=3化成普通方程:x2+y2=9,直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=2
的普通方程为x+
3
y-2=0
.设圆上的点A(3cosα,3sinα),利用点到直线的距离公式结合正弦函数的最值,可算出圆上的点到直线距离的最大值.
D.将不等式左边变形后,利用柯西不等式,再将a+b+c=1代入,将所得不等式再整理,即得要证明的不等式恒成立.

A.∵PA是⊙O的切线,∴PA2=PD•BD,
∵PB=PD+BD=1+8=9,∴PA2=1×9=9,可得PA=3,AE=PA=3,
∵PA是⊙O的切线,∴∠PAE=∠ABC=60°,可得△PAE是边长为3的等边三角形
连接AD,在△ADE中,AE=3,DE=2,得AD=
AE2+DE2−2•AE•DEcos60°=
7
又∵圆中△AED∽△BEC,
∴[AD/BC=
AE
BE]=[1/2],可得BC=2AD=2
7
B.(Ⅰ)设M=

a
c,则有

a
c

1
−1

点评:
本题考点: 逆变换与逆矩阵;与圆有关的比例线段;简单曲线的极坐标方程;综合法与分析法(选修).

考点点评: 本题以平面几何证明、矩阵及矩阵变换、参数方程与极坐标和不等式选讲为载体,考查了同学们对数学选修知识的理解与掌握情况,属于中档题.

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如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC与⊙O相切于点C,PC=AC=1.求⊙O的半径.
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解题思路:连接OC,由题设知OC⊥PC,∠OAC=∠OCA=∠P=30°,由此能求出⊙O的半径.

如图,连接OC,
∵AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC与⊙O相切于点C,PC=AC=1,
∴OC⊥PC,∠OAC=∠OCA=∠P=30°,
设OC=r,则OP=2r,
∴4r2-r2=1,
解得r=

3
3.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查直线与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

(几何证明选讲)如图,半径是33的⊙O中,AB是直径,MN是过点A的⊙O的切线,AC,BD相交于点P,且∠DAN=30°
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3
的⊙O中,AB是直径,MN是过点A的⊙O的切线,AC,BD相交于点P,且∠DAN=30°,CP=2,PA=9,又PD>PB,则线段PD的长为______.
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解题思路:根据MN切圆O与A点,得到弦切角∠DAN=∠B=30°,再用直径AB得到直角三角形ADB,计算出BD长等于9,最后利用相交弦定理得到PB•PD=PC•PA=18,从而得到线段PD的长.

∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥DB
又∵直线MN与圆O相切于点A
∴∠B=∠DAN=30°
∴Rt△ADB中,AD=[1/2]AB=3
3,BD=

3
2AB=9
∵⊙O的弦AC、BD交于P点
∴PA•PC=PB•PD
设PD长为x,得2×9=x(9-x)
解之,得x=3或6
∵PD>PB
∴x=6
故答案为6

点评:
本题考点: 弦切角;与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查了弦切角、与圆有关的比例线段的相关知识,属于中档题.解题时应该充分利用直径AB这个条件,化难为易.

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的⊙O中,OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.若OA=
3
OM,则MN的长为______.
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解题思路:先根据条件求出OM以及BM,进而求出MA,CM,再结合相交弦定理即可求出结论.

∵OA=
3OM=2
3,
∴OM=2,BM=
OB 2+OM 2=4;
故MA=OA-OM=2
3-2,CM=CO+OM=2
3+2
又相交弦定理得:CM•MA=BM•MN⇒MN=[CM•MA/BM]=
(2
3+2)(2
3−2)
4=2.
故答案为:2.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题主要考查与圆有关的比列线段以及相交弦定理的运用.解决这类问题的关键在于对圆的切割线定理,相交弦定理等基础知识的理解以及运用.

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第一题 因为AB与CD 平行 ∠ABD=∠BDC ∠BAC=∠ACD (内错角)∠AOB=∠DOC(对顶角) 所以△AOB相似与△COD 所以OB:OD=OA:OC=8:6 所以OB=4/3OD 又因为OB+OD=15 可得OD=45/7 OB=60/7
第三题
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如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,F是
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(1)AB•AC=AE•AD;
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(2)连接OF,由F是
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证明:(1)连接BE,则∠E=∠C.又∠ABE=∠ADC=Rt∠,
∴△ABE∽△ADC,∴[AB/AD=
AE
AC].
∴AB•AC=AE•AD.
(2)连接OF,∵F是

BC的中点,∴∠BAF=∠CAF.
由(1)得∠BAE=∠CAD,
∴∠FAE=∠FAD.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握同圆弧所对的圆周角相等,、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

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如图, 是⊙ 的直径, 是弦,∠BAC的平分线 交⊙ 延长线于点 于点 .

(1)求证: 是⊙ 的切线;
(2)若 ,求 的值.
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证明:(Ⅰ)连接OD,可得


OD∥AE----------------------------------------3分

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(Ⅰ)求证:[AB/AC=
PA
PC];
(Ⅱ)求AD•AE的值.
nsra 1年前 已收到1个回答 举报

寻找唐僧 幼苗

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解题思路:( I)直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用,得到△PAB∽△PCA,进而求出结论;
( II)先根据切割线定理得到PA2=PB•PC;结合第一问的结论以及勾股定理求出AC=6
5
,AB=3
5
;再结合条件得到△ACE∽△ADB,进而求出结果.

( I)∵PA为⊙O的切线,
∴∠PAB=∠ACP,…(1分)
又∠P公用,∴△PAB∽△PCA.…(2分)
∴[AB/AC=
PA
PC].…(3分)
( II)∵PA为⊙O的切线,PBC是过点O的割线,
∴PA2=PB•PC.…(5分)
又∵PA=10,PB=5,∴PC=20,BC=15.…(6分)
由( I)知,[AB/AC=
PA
PC=
1
2],
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CAB=90°.
∴AC2+AB2=BC2=225,
∴AC=6
5,AB=3
5 …(7分)
连接CE,则∠ABC=∠E,…(8分)
又∠CAE=∠EAB,
∴△ACE∽△ADB,
∴[AB/AE=
AD
AC] …(9分)
∴AD•AE=AB•AC=3
5×6
5=90.…(10分)

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.

考点点评: 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用.解决本题第一问的关键在于先由切线PA得到∠PAB=∠ACP.

1年前

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解题思路:( I)直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用,得到△PAB∽△PCA,进而求出结论;
( II)先根据切割线定理得到PA2=PB•PC;结合第一问的结论以及勾股定理求出AC=6
5
,AB=3
5
;再结合条件得到△ACE∽△ADB,进而求出结果.

( I)∵PA为⊙O的切线,
∴∠PAB=∠ACP,…(1分)
又∠P公用,∴△PAB∽△PCA.…(2分)
∴[AB/AC=
PA
PC].…(3分)
( II)∵PA为⊙O的切线,PBC是过点O的割线,
∴PA2=PB•PC.…(5分)
又∵PA=10,PB=5,∴PC=20,BC=15.…(6分)
由( I)知,[AB/AC=
PA
PC=
1
2],
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CAB=90°.
∴AC2+AB2=BC2=225,
∴AC=6
5,AB=3
5 …(7分)
连接CE,则∠ABC=∠E,…(8分)
又∠CAE=∠EAB,
∴△ACE∽△ADB,
∴[AB/AE=
AD
AC] …(9分)
∴AD•AE=AB•AC=3
5×6
5=90.…(10分)

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bettykitty801年前1
老家在湘西 共回答了11个问题 | 采纳率100%
解题思路:连接OC,利用圆的性质可得∠OAC=∠OCA,再利用角平分线的性质可得∠EAC=∠OCA,利用平行线的判定定理可得OC∥AD.利用切线的性质可得CD⊥OC,进而证明结论.

证明:连接OC,则∠OAC=∠OCA,
又∵CA平分∠BAE,∴∠OAC=∠EAC,
于是∠EAC=∠OCA,∴OC∥AD.
又∵DC是⊙O的切线,
∴CD⊥OC,
∴CD⊥AE.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握圆的性质、角平分线的性质、平行线的判定定理、圆的切线的性质是解题的关键.

(几何证明选讲)如图,点A、B、C都在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB=5,BC=3,CD=6,则线段A
(几何证明选讲)如图,点A、B、C都在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB=5,BC=3,CD=6,则线段AC的长为______.
zhopenmail1年前1
dixinzhu 共回答了23个问题 | 采纳率100%

∵过点C的切线交AB的延长线于点D,
∴DC是圆的切线,DBA是圆的割线,
根据切割线定理得到DC 2 =DB?DA,
∵AB=5,CD=6,
∴36=DB(DB+5)
∴DB=4,
由题意知∠D=∠D,∠BCD=∠A
∴△DBC ∽ △DCA,

DC
DA =
BC
CA
∴AC=
3×9
6 =4.5,
故答案为:4.5
(2009•江苏模拟) 选修1:几何证明选讲
(2009•江苏模拟) 选修1:几何证明选讲
如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD,求证:
(1)l是⊙O的切线;
(2)PB平分∠ABD.
红豆的红1年前1
孙家弘 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%
解题思路:(1)连接OP,由AC与BD都与直线l垂直,得到AC与BD平行,由AB与l不相交得到四边形ABDC为梯形,又O为AB中点,P为CD中点,所以OP为梯形的中位线,根据梯形中位线性质得到OP与BD平行,从而得到OP与l垂直,而P在圆上,故l为圆的切线;
(2)由(1)得到l为圆的切线,根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BPD=∠BAP,又根据等角的余角相等即可得到∠PBA=∠PBD,即PB为角平分线.

证明:(1)连接OP,因为AC⊥l,BD⊥l,
所以AC∥BD.
又OA=OB,PC=PD,
所以OP∥BD,从而OP⊥l.
因为P在⊙O上,所以l是⊙O的切线.
(2)连接AP,因为l是⊙O的切线,
所以∠BPD=∠BAP.
又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°,
所以∠PBA=∠PBD,即PB平分∠ABD.

点评:
本题考点: 直线与圆的位置关系.

考点点评: 此题考查了切线的判定,梯形中位线性质及直线与圆的位置关系.证明切线时:有点连接圆心与这点,证明垂直;无点作垂线,证明垂线段等于圆的半径,是经常连接的辅助线.

几何证明选讲第十页第3题答案A、B两点间隔一个湖泊,因而AB两点间距离无法测量,请设计一个间接测量AB长度的方案,并说明
几何证明选讲第十页第3题答案
A、B两点间隔一个湖泊,因而AB两点间距离无法测量,请设计一个间接测量AB长度的方案,并说明所设计方案的合理性
华丽的吸血鬼1年前1
lonlon1985 共回答了27个问题 | 采纳率92.6%
湖外一点C,测量AC、BC,用勾股原理算出AB距离.
(2011•开封一模)选修4-1:几何证明选讲
(2011•开封一模)选修4-1:几何证明选讲
如图:AB是⊙O的直径,C、F为⊙O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C作CD⊥AF,交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为M,求证:
(I)DC是⊙O的切线;
(II)MB=DF.
inlove06091年前1
caisx7672 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
解题思路:(I)连接OC,则∠OAC=∠OCA,利用角平分线的性质可得∠OCA=∠OAC=∠CAF,于是OC∥AD.再利用已知AD⊥CD,可得OC⊥CD.利用切线的判定定理即可.
(II)连接BC、FC,可得A、B、C、F四点共圆,可得∠CFD=∠CBM,又CD=CM,∠CDF=∠CMB.于是RT△CDF≌RT△CMB,即可得出.

证明:(I)连接OC,则∠OAC=∠OCA,
又∵CA是∠BAF的角平分线,∴∠OCA=∠OAC=∠CAF,
∴OC∥AD.
又∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线;
(II)连接BC、FC,∵A、B、C、F四点共圆,
∴∠CFD=∠CBM,又CD=CM,∠CDF=∠CMB.
∴RT△CDF≌RT△CMB,∴MB=DF.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握角平分线的性质、平行线的判定方法、切线的判定定理、四点共圆的性质、三角形的全等判定方法等是解题的关键.

(2014•洛阳一模)选修4-1:几何证明选讲
(2014•洛阳一模)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.
(Ⅰ)证明:A、E、F、M四点共圆;
(Ⅱ)证明:AC2+BF•BM=AB2
yaoqun1年前1
Steven_Chan 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%
解题思路:(I)利用圆的性质即可得出∠AMB=90°,再利用四点共圆的判定定理即可得出;
(2)连接AC,BC.由A、E、F、M四点共圆,利用切割线定理可得BF•BM=BE•BA.连接AC,BC.则∠ACB=90°.又CD⊥AB.利用射影定理可得AC2=AE•AB.相加即可得出.

证明:(I)如图所示.
连接AM,∵AB是⊙O的直径,∴∠AMB=90°.
∴∠AMB+∠AEF=180°,
∴A、E、F、M四点共圆;
(II)连接AC,BC.
由A、E、F、M四点共圆,∴BF•BM=BE•BA.
连接AC,BC.则∠ACB=90°.
又CD⊥AB.
∴AC2=AE•AB.
∴AC2+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB2

点评:
本题考点: 圆周角定理;与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握圆的性质、四点共圆的判定定理、切割线定理、射影定理等是解题的关键.

(2012•江苏三模)选修4-1:几何证明选讲
(2012•江苏三模)选修4-1:几何证明选讲
如图,半径分别为R,r(R>r>0)的两圆⊙O,⊙O1内切于点T,P是外圆⊙O上任意一点,连PT交⊙O1于点M,PN与内圆⊙O1相切,切点为N.求证:PN:PM为定值.
主儿71年前0
共回答了个问题 | 采纳率
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲.
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲.
如图,⊙O内切△ABC的边于D、E、F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.

⑴证明:圆心O在直线AD上;
⑵证明:点C是线段GD的中点.
好文重度关注1年前1
wujun19732006 共回答了16个问题 | 采纳率100%
见解析。

切线PA和PB,切点分别是A和B根据切线的性质和圆周角定理,四边形内角和是360度即可求得劣弧AB的度数.
证明⑴:∵ .
又∵
又∵△ 是等腰三角形, ,∴ 是角∠ 的平分线.
∴内切圆圆心O在直线AD上.    (5分)
⑵连接DF,由⑴知,DH是⊙O的直径,




∴点C是线段GD的中点.           (10分)
我想问问,能不能说下高中数学选修1,几何证明选讲里的公式啊?
520love我_1年前1
saer293 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
没有公式,只有推论.
只要把推论记熟就能做一些简单的题了,书上有推论、定理
选修4-1:几何证明选讲.如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线,已知AC=AB.证
选修4-1:几何证明选讲.
如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线,已知AC=AB.证明:
(1)AD•AE=AC2
(2)FG∥AC.
xincheng511年前0
共回答了个问题 | 采纳率
(选修4—1:几何证明选讲)如图,AB是⊙O的直径,C、F为⊙O上的点,且CA平分∠BAF,过点C作CD⊥AF,交AF的
(选修4—1:几何证明选讲)
如图,AB是⊙O的直径,C、F为⊙O上的点,且CA平分∠BAF,过点C作CD⊥AF,交AF的延长线于点D。
求证:DC是⊙O的切线。
ol111年前1
世纪宁红 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%


证明:连结OC,所以
所以
于是 ………………6分
又因为CD⊥AF,所以CD⊥O C,故DC是⊙O的切线 ………………10分
(2rr2•辽宁)选修4-r:几何证明选讲
(2rr2•辽宁)选修4-r:几何证明选讲
如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点u.证明:
(Ⅰ)AC•BD=AD•AB;
(Ⅱ)AC=Au.
在看一眼就好1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB、CD是圆的两条平行弦,BE//AC,BE交CD于E、交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2.
(I)求AC的长;
(II)求证:BE=EF.
雪地里跑1年前1
我帮别人抗洪哎 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
(I) ;(II)见解析

(1)由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系,求得PD,再由角相等得三角形相似:△PAC∽△CBA,从而求得AC的长;
(2)欲求证:“BE=EF”,可先分别求出它们的值,比较即可,求解时可结合圆中相交弦的乘积关系.
(I) ,…………(2分)

, …………(4分) …………(5分)
(II) ,而 , …………(8分)
.…………(10分)
(选做题)(几何证明选讲)如图所示,过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A,B两点,BA=2AP,PT与圆C相切于T点.已
(选做题)(几何证明选讲)如图所示,过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A,B两点,BA=2AP,PT与圆C相切于T点.已知圆C的半径为2,∠CAB=30°,则PT=    
CiCi4291年前1
xx他二哥 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解题思路:由已知中圆C的半径为2,∠CAB=30°,我们要以求出AB的长,又由过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A,B两点,BA=2AP,我们可以进一步求出PA,PB长,结合已知中PT与圆C相切于T点和切割线定理,我们即可求出出线段PT的长
∵圆C的半径为2,∠CAB=30°,

又∵BA=2AP,

又∵PT与圆C相切于T点.
由切割线定理可得:
PT 2 =PA•PB=9,
∴PT=3

3


<>

(2013•哈尔滨一模)选修4-1:几何证明选讲
(2013•哈尔滨一模)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:
(1)BE•DE+AC•CE=CE2
(2)E,F,C,B四点共圆.
柠檬幽香1年前1
chu1516 共回答了23个问题 | 采纳率100%
解题思路:(1)由割线定理可得EA•EC=BE•DE,进而得到结论;
(2)利用AB是⊙O的直径,可得∠ECB=90°.因此CD=
1
2
EB
.由EF⊥BF,可得FD=
1
2
BE
.进而证明结论.

证明:(1)由割线定理得EA•EC=BE•DE,
∴BE•DE+AC•CE=EA•CE+AC•CE=CE2
∴BE•DE+AC•CE=CE2
(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ECB=90°.∴CD=
1
2EB.
∵EF⊥BF,∴FD=
1
2BE.
∴E,F,C,B四点与点D等距离.
∴E,F,C,B四点共圆.

点评:
本题考点: 相似三角形的性质;与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握割线定理和直角三角形斜边的中线的性质及四点共圆的判定方法是解题的关键.

(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知在△ABC中,∠B=90°.O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点
(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知在△ABC中,∠B=90°.O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,AD=2,AE=1,则CD的长为______.
anglelucifa1年前1
那小虫 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
解题思路:利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出.

由AD与圆O相切于点D,根据切割线定理可得AD2=AE•AB,又AD=2,AE=1,∴AB=
AD2
AE=4.
由CD,CB都是圆O的切线,根据切线长定理可得,设CD=x,则CB=x.
由切线的性质可得:AB⊥BC,
∴AB2+BC2=AC2,∴42+x2=(x+2)2,得x=3,即CD=3.
故答案为3.

点评:
本题考点: 圆的切线的判定定理的证明.

考点点评: 熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键.

(几何证明选讲)已知AB是圆O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交点O于点C,若AP=6,PB=3,则PC的长
(几何证明选讲)
已知AB是圆O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交点O于点C,若AP=6,PB=3,则PC的长为______.
热浪T恤1年前1
小笨虫字 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

∵AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C
由相交弦定理可得:AP×PB=PC 2
∵AP=6,PB=3,
∴PC 2 =18,解得PC=3
2 .
故答案为:3
2 .
(2013•哈尔滨一模)选修4-1:几何证明选讲
(2013•哈尔滨一模)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙的直径,弦BD,CA 的延长线相交于点E,EF垂直BA 的延长线于点F.
求证:
(1)BE•DE+AC•CE=CE2
(2)E,F,C,B四点共圆.
xqiuhong1年前1
zpepsi 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
解题思路:(1)连接CD后,根据圆周角定理及∠BEC为△ABE与△CDE的共公角,我们易得△ABE∽△CDE,根据相似三角形性质,结合比例的性质,易得答案.
(2)AB是⊙O的直径所对的圆周角为直角,易得△ECB为直角三角形,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,我们易得E,F,C,B到点D的距离相等,即E,F,C,B四点共圆.

(1)连接CD,如下图所示:
由圆周角定理,我们可得∠C=∠B
又由∠BEC为△ABE与△CDE的共公角,
∴△ABE∽△CDE,
∴BE:CE=AE:DE,
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE2(3分)
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ECB=90°,
∴CD=[1/2]BE
同理,FD=[1/2]BE,
所以,E,F,C,B到点D的距离相等,
∴E,F,C,B四点共圆.(10分)

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质,四点共圆的判定,(2)中利用∠ADB=EFB=90°,根据圆内接四边形判定定理,也可证明E,F,C,B四点共圆.

选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图, 半径分别为R,r(R>r>0)的两圆 内切于点T,P是外圆 上任意一点,连PT交 于点M,PN与内圆 相切,切点为N。求证:PN:PM为定值。
callme2091年前1
生擒碧鲨 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
见解析。

本试题主要是考查了平面几何性质的运用。三角形的相似,以及圆的公切线概念和性质运用,首先根据作两圆的公切线TQ,连接OP,O 1 M,D得到线段比例关系,然后由由弦切角定理得到角想的呢过,并利用平行关系,故可证明。
作两圆的公切线 ,连结

,所以 .………3分
由弦切角定理知,
,于是
所以 ,………………6分
所以 ,所以 , ……………………………………8分
所以 为定值.………………………………………………10分
几何证明选讲5.如图,三角形ABC是圆O的内接三角形,PA是圆O 的切线,A为切点,PB交AC于点E ,交圆O 于点D
几何证明选讲
5.如图,三角形ABC是圆O的内接三角形,PA是圆O
的切线,A为切点,PB交AC于点E ,交圆O
于点D ,若PE=PA ,角ABC=60度 ,且PD=1,BD=8,
则AC=______
lsc7351年前1
汝之贱名 共回答了19个问题 | 采纳率100%
因为PA是圆O的切线,A为切点,所以角PAC=弧ADC所对的圆周角=角ABC=60度,又因为PE=PA ,所以三角形PAE是等边三角形.PA^2=PD*PB=1*(1+8)=9PA=PE=AE=3DE=PE-PD=3-1=2BE=BD-DE=8-2=6因为AE*CE=BE*DE所以CE=BE*DE/AE=6*2/3=4...
(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F。
土土土拨鼠1年前1
chaoye98 共回答了20个问题 | 采纳率85%
证明:(Ⅰ)连接OD,可得


OD∥AE----------------------------------------3分

DE是⊙ 的切线.----------------- ------------5分
(Ⅱ)过D作 于H,则有
.------------------6分
,则
--------------------------8分
可得

--------------10分

.(选修4—1:几何证明选讲)如图,已知 是⊙ 的直径, 是⊙ 的弦, 的平分线 交⊙ 于 ,过点 作 交 的延长线于点
.(选修4—1:几何证明选讲)
如图,已知 是⊙ 的直径, 是⊙ 的弦, 的平分线 交⊙ ,过点 的延长线于点 于点 .若 ,则 的值为 .
天眼看地1年前1
onlycitygirl 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%


连接BC,OD,设OD与BC的交点为M,并设AC=3,AB=5,

四边形CEDM为矩形,所以 ,
.
(2014•锦州一模)选修4-1:几何证明选讲
(2014•锦州一模)选修4-1:几何证明选讲
如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CD∥AP,AD、BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF•EC.
(1)求证:CE•EB=EF•EP;
(2)若CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求PA的长.
zairedian1年前1
7c8n6a 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%
解题思路:(I)由已知可得△DEF∽△CED,得到∠EDF=∠C.由平行线的性质可得∠P=∠C,于是得到∠EDF=∠P,再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA.于是得到EA•ED=EF•EP.利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB,进而证明结论;
(II)利用(I)的结论可得BP=[15/4],再利用切割线定理可得PA2=PB•PC,即可得出PA.

(I)证明:∵DE2=EF•EC,∠DEF公用,
∴△DEF∽△CED,
∴∠EDF=∠C.
又∵弦CD∥AP,∴∠P=∠C,
∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA.
∴[EA/EF=
EP
ED],∴EA•ED=EF•EP.
又∵EA•ED=CE•EB,
∴CE•EB=EF•EP;
(II)∵DE2=EF•EC,DE=3,EF=2.
∴32=2EC,∴CE=
9
2.
∵CE:BE=3:2,∴BE=3.
由(I)可知:CE•EB=EF•EP,∴[9/2×3=2EP,解得EP=
27
4],
∴BP=EP-EB=[27/4−3=
15
4].
∵PA是⊙O的切线,∴PA2=PB•PC,
∴PA2=
15
4×(
27
4+
9
2),解得PA=
15
3
4.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键.

选修4-1:几何证明选讲 如图,圆O的直径AB=10,弦DE⊥AB于点H,AH=2。(1)求DE的长;(2)延长ED到P
选修4-1:几何证明选讲
如图,圆O的直径AB=10,弦DE⊥AB于点H,AH=2。
(1)求DE的长;
(2)延长ED到P,过P作圆O的切线,切点为C,若PC=2 ,求PD的长。
内衣粉丝团弟弟1年前1
wawlruc 共回答了10个问题 | 采纳率90%
(1)DE=8(2)PD=2


(1)AB为圆O的直径,AB⊥DE,DH=HE,
DH =AH BH=2(10-2) =16,
DH=4,DE=8
(2)PC切圆O于点C,PC =PD·PE,
=PD·(PD+8), PD=2。
(2013•石家庄二模)选修4-1:几何证明选讲
(2013•石家庄二模)选修4-1:几何证明选讲
在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,以AB为直径做圆0交AC于点D.
(Ⅰ)求线段CD的长度;
(Ⅱ)点E为线段BC上一点,当点E在什么位置时,直线ED与圆0相切,并说明理由.
范小饭Q1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
(2011•许昌三模)选修4-1:几何证明选讲
(2011•许昌三模)选修4-1:几何证明选讲
如图:⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F.
(1)判断BE是否平分∠ABC,并说明理由
(2)若AE=6,BE=8,求EF的长.
pingjun1年前1
吴志东 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%
解题思路:(1)BE平分∠ABC.由已知中边的相等,可得∠CAD=∠D,∠ABC=∠ACB,再利用同弧所对的圆周角相等,可得∠CAD=∠D=∠DBE,即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D,利用等量减等量差相等,可得∠EBD=∠D=∠ABE,故得证.
(2)由(1)中的所证条件∠ABE=∠FAE,再加上两个三角形的公共角,可证△BEA∽△AEF,利用比例线段可求EF.

(1)BE平分∠ABC;
证明:∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…(2分)
又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC,
∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC;…(5分)
(2)连接EC,由(1)BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点
∴AE=EC=6
又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…(7分)
∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴[EF/EC=
AE
ED]∴EF=
AE•EC
ED=
9
2…(10分)

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 本题考查了圆周角定理,以及等腰三角形的性质,等边对等角,角平分线的判定,还有相似三角形的判定和性质等知识.本题解题的关键是正确读图,做题时最好自己作图以帮助理解题意.

(选做题)选修4-1:几何证明选讲
(选做题)选修4-1:几何证明选讲

如图,AB是⊙O的直径,D是 的中点,DE⊥AC交AC的延长线于点F.
⑴求证:DE是⊙O的切线;
⑵若 DE="3" ,⊙O的半径为5,求BF的长。
leon-p41841年前1
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BF= . 解析:⑴ 如图 ,连结OD,因为D是 的中点,所以∠1=∠2。因为OA=OD,所以∠2=∠3。所以∠1=∠3, 所以OD∥AE。因为DE⊥AE,所以DE⊥OD,即DE是⊙O的切线。……4分⑵过D作DGE⊥AB,因为∠1=∠2,所...
选修4-1:几何证明选讲.如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线,已知AC=AB.证
选修4-1:几何证明选讲.
如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线,已知AC=AB.证明:
(1)AD•AE=AC2
(2)FG∥AC.
anderson0011年前0
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(2013•蓟县一模)(几何证明选讲)如图,点A、B、C都在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB=5,BC=
(2013•蓟县一模)(几何证明选讲)如图,点A、B、C都在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB=5,BC=3,CD=6,则线段AC的长为______.
sunny1999991年前0
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(2014•江苏一模)选修4-1:几何证明选讲
(2014•江苏一模)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知⊙O的半径为1,MN是⊙O的直径,过M点作⊙O的切线AM,C是AM的中点,AN交⊙O于B点,若四边形BCON是平行四边形;
(Ⅰ)求AM的长;
(Ⅱ)求sin∠ANC.
1524121年前0
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(2011•南通一模) 选修4-1:几何证明选讲
(2011•南通一模) 选修4-1:几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=40°.作OE⊥AB交劣弧
AB
于点E,连接EC,求∠OEC.
seagullfeng1年前1
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解题思路:连接OC.如图所示.由∠ABC=60°,∠BAC=40°,利用三角形的内角和定理可得∠ACB=80°.由OE⊥AB,利用垂径定理及其推论可得E为
AB
的中点,
BE
BC
的度数均为80°.进而得到∠EOC=80°+80°=160°.利用等腰三角形即可得出∠OEC=10°.

连接OC.如图所示,
∵∠ABC=60°,∠BAC=40°,∴∠ACB=80°.
∵OE⊥AB,
∴E为

AB的中点,∴

BE和

BC的度数均为80°.
∴∠EOC=80°+80°=160°.
∴∠OEC=10°.

点评:
本题考点: 与圆有关的比例线段.

考点点评: 熟练掌握三角形的内角和定理、垂径定理及其推论、等腰三角形的性质是解题的关键.