已知函数f[(1-x)/(1+x)]=x,则f(x)=_____

（Ⅰ）∵f （x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，
由lnx+1＞0，即x＞[1/e]时f′（x）＞0，所以f（x）在区间（[1/e]，+∞）上单调递增，
由lnx+1＜0，即0＜x＜[1/e]时f′（x）＜0，所以f（x）在区间（0，[1/e]）上单调递减，
∴函数f（x）的单调递增区间为(
1
e，+∞)，单调递减区间为(0，
1
e)
（Ⅱ）∵函数g（x）=2f （x）-blnx+x在x∈[1，+∞）上存在零点，
∴方程2xlnx-blnx+x=0在x∈[1，+∞）上有实数解．
易知x=1不是方程的实数解，
∴方程2xlnx-blnx+x=0在x∈（1，+∞）上有实数解，
即方程b＝2x+
x
lnx在x∈（1，+∞）上有实数解．
设ϕ(x)＝2x+
x
lnx（x＞1），ϕ′(x)＝2+
lnx−1
(lnx)2＝
2(lnx)2+lnx−1
(lnx)2＝
(2lnx−1)(lnx+1)
(lnx)2，
∵x＞1，∴lnx＞0，lnx+1＞0，
当2lnx-1＞0，即x＞
e时，ϕ'（x）＞0；
当2lnx-1＜0，即1＜x＜
e时，ϕ'（x）＜0，
∴ϕ（x）在(1，
e)上单调递减，在(
e，+∞)上单调递增，
∴[ϕ(x)]

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．

（1）当a=4时，f（x）=x+[4/x]+2，易知，f（x）在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
∴f（x）_min=f（2）=6．
（2）当a=[1/2]时，f（x）=x+[1/2x]+2．
易知，f（x）在[1，+∞）上为增函数．
∴f（x）_min=f（1）=[7/2]．
（3）函数f（x）=x+[a/x]+2在（0，
a]上是减函数，在[
a，+∞）上是增函数．
若
a＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）_min=f（
a）=2
a+2．
若
a≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=a+3．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查分离常数法在求函数值域中的应用，分离常数法求函数值域一般适用于分式函数，且分子为二次形式，而分母为一次形式的题．

（Ⅰ）f′（x）=6x²-6（2+a²）x+6（1+a²）
=6（x-1）（x-1-a²），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a²，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a²，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a²+3，5}max=5，
即3a²+3≤5，
解此不等式，得
-

6
3≤a≤

6
3，
所以a的取值范围是-

6
3≤a≤

6
3．（15分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识，同时考查抽象概括能力和运算求解能力．

由题意f （x）在（-∞，+∞）上是增函数，可得函数在（-∞，1）上是增函数，
且在（1，+∞）上也是增函数，且有a-1≤2a-3-3a+6．
故有

a＞1
a−1≤(2a−3)−3a+6
2a−3＞0，解得[3/2]＜a≤2．
故选A．

点评：
本题考点： 指数函数单调性的应用．

考点点评： 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质应用，属于中档题．

因为函数f（x+1）为奇函数
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函数f（x-1）是偶函数
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，则可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，则f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函数以8为周期的周期函数
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故选A

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数的周期性．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用．解决问题的关键在于根据函数f（x+1）为奇函数得到f（x+1）=-f（-x+1）；再结合函数f（x-1）是偶函数得到f（x-1）=f（-x-1）求解出函数的周期

∵函数f （x）是定义在闭区间[-a，a]（a＞0）上的奇函数，
则函数的最大值和最小值，分别为f（-A），f（A），
又∵F（x）=f （x）+1，
∴F（x）最大值与最小值分别为f（-A）+1，f（A）+1，
∴F（x）最大值与最小值之和为2
故选B

点评：
本题考点： 奇偶函数图象的对称性．

考点点评： 本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，其中根据奇函数的性质，判断出函数f （x）在闭区间[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值互为相反数是解答本题的关键．

∵函数f（x）=x³-12x+8
∴f′（x）=3x²-12
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0，解得-2＜x＜2
故函数在[-2，2]上是减函数，在[-3，-2]，[2，3]上是增函数，
所以函数在x=2时取到最小值f（2）=8-24+8=-8，在x=-2时取到最大值f（-2）=-8+24+8=24
即M=24，m=-8
∴M-m=32
故选C．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的最值、单调性，解答本题关键是研究出函数的单调性，利用函数的单调性确定出函数的最值

（1）设g （x）=[kx−1/x+1]⇒g′（x）=
k(x+1)−kx+1
(x+1)2=
k+1
(x+1)2，
因为g（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范围为（-1，+∞）
（2）由条件得到f（1）＜2⇒e
k−2
2＜2⇒k＜2ln2+1＜3猜测最大整数k=2，
现在证明e
2x−1
x+1＜x+1对任意x＞0恒成立，e
2x−1
x+1＜x+1等价于，
2-[3/x+1]＜（lnx+1）⇔ln（x+1）+[3/x+1]＞2，
设h（x）=ln（x+1）+[3/x+1]⇒h′（x）=[1/x+1]-
3
(x+1)2=
x−2
(x+1)2
故x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以对任意的x＞0都有h（x）≥h（2）=ln3+1＞2，
即e
2x−1
x+1＜x+1对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了根据单调性求参数k的问题，以及不等式恒成立等基础知识，考查灵活运用转化和划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．

（Ⅰ）f′（x）=6x²-6（2+a²）x+6（1+a²）
=6（x-1）（x-1-a²），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a²，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a²，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a²+3，5}max=5，
即3a²+3≤5，
解此不等式，得
-

6
3≤a≤

6
3，
所以a的取值范围是-

6
3≤a≤

6
3．（15分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识，同时考查抽象概括能力和运算求解能力．

∵函数f （x）是定义在闭区间[-a，a]（a＞0）上的奇函数，
则函数的最大值和最小值，分别为f（-A），f（A），
又∵F（x）=f （x）+1，
∴F（x）最大值与最小值分别为f（-A）+1，f（A）+1，
∴F（x）最大值与最小值之和为2
故选B

点评：
本题考点： 奇偶函数图象的对称性．

考点点评： 本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，其中根据奇函数的性质，判断出函数f （x）在闭区间[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值互为相反数是解答本题的关键．

解（1）由题意知，f（a）=a且f（b）=b，
a，b即为方程f（x）=x的解，
即x（1+x）²=x，
解得x₁=0，x₂=-2．
当-2≤x≤0时，检验知符合题意．
∴a=-2，b=0．
（2）g（x）=kx-2（k∈R），f（x）≥g（x）在区间[1，2]上恒成立
kx≤f（x）+2在区间[1，2]上恒成立，
∴k≤x2+2x+1+
2
x在区间[1，2]上恒成立
令h（x）=x2+2x+1+
2
x
则h′（x）=2x+2-
2
x2=
2x3+2x2−2
x2＞0恒成立
即h（x）在区间[1，2]上为增函数
故当x=1时，h（x）取最小值6
∴k的取值范围是k≤6

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握利用导数法处理函数恒成立问题的方法和步骤是解答本题的关键．