截长补短法构造全等三角形,如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.求证:BC=AB+CD

证明：∵∠BAC+∠BDC=60+120=180(度),∴ ABDC四点共圆.
取弦CE=BD,则⌒CE=⌒BD,而∠1+∠2=(1/2) (⌒AE+⌒BD)
=(1/2)(⌒AE+⌒CE)=(1/2)⌒AC=60(度).
延长DC、AE交于F,∵∠3=(1/2)(⌒AB+⌒BC)=120(度),∴∠4=60(度),
已证∠1+∠2=60(度),又∠6=(1/2)⌒AB=60(度),∴∠5=180-60-60=60(度),
∴△ECF为等边△,∴CF=CE=BD、∠F=∠7=60度,
∴△ADF为等边△,∴AD=DF,又AD=DC+CF,已证CF=BD,
∴AD=BD+DC.

已知：△ABC是⊙O的内接等边三角形,点P为弧BC上一动点,求证：PA=PB+PC.
分析：直接证明PA=PB+PC,困难较大.可用截长法：在PA上截取PD=PB,再证明PC=DA即可（或用补短法：在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段,再证明PA与这条线段相等）.
证明（截长法）：在PA上截取PD=PB,连接BD,
∵ △ABC是圆O的内接等边三角形,∴ BA=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵ ∠BPA=∠BCA,
∴∠BPA=60°.
∴ △BPD是等边三角形.
∴ BD=BP,∠DBP=60°.
∴ ∠ABD=∠CBP.
∴ △ABD≌△CBP.
∴ PC=DA.
又∵ PA=PD+DA,
∴ PA=PB+PC.
证明（补短法）：延长BP到D使PD=PC,连接CD,
∵ △ABC是圆内接等边三角形,∴ AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
∵ ∠BPA=∠BCA,∠ABC=∠APC,
∴ ∠BPA=60°=∠APC.∴ ∠CPD=60°.
∴ △CPD是等边三角形.
∴ CD=CP ∠DCP=60°.∴ ∠ACP=∠BCD.
∴ △ACP≌△BCD.∴ PA=BA.
又∵ BD=PD+BP,∴ PA=PB+PC.

1.MN=BM+CN.
延长AC到E,使CE=BM,连接DE（实际上就是将三角形BDM旋转到CDE）
在三角形BDM和CDE中,可证得
角MBD=DCE=90度,
且BM=CE,BD=CD
所以三角形BDM与CDE全等
所以DM=DE
在三角形DMN和DEN中
可证得角MDN=EDN=60度
且DM=DE,DN=DN
所以三角形DMN与DEN全等
所以MN=NE=EC+CN=BM+CN.
2.MN=CN-BM
在AC上找点E,使CE=BM,连接DE
同上证得三角形BDM与CDE全等,三角形DMN与DEN全等
所以MN=NE=CN-CE=CN-BM.

一、
证明：
取BD的中点F,连接AF、AE
因为AB＝AC,∠BAC＝90°
所以∠ABC＝∠ACB＝45°
因为BD平分∠ABC
所以∠ABD＝∠CBD＝45°/2＝22.5°
因为∠BAC＝90°,
所以AF是直角三角形ABD斜边上的中线
所以BD＝2AF＝2BF＝2DF
所以∠BAF＝∠ABF＝22.5°
因为CE⊥BD,
所以∠BEC＝∠BAC＝90°
所以A、B、C、E四点共圆
所以∠CAE＝∠CBD＝∠ABD＝∠ACE
又因为AB＝AC
所以△ABF≌△ACE
所以BF＝CE
所以BD＝2BF＝2CE
二、
证明：
延长AC到E,使CE＝CD,连接DE
因为CD＝CE
所以∠E＝∠CDE
所以∠ACB＝∠CDE＋∠E＝2∠E
因为∠ACB＝2∠B
所以∠B＝∠E
又因为∠1＝∠2,AD＝AD
所以△ABD≌△AED（AAS）
所以AB＝AE＝AC＋CE
所以AB＝AC＋CD

延长一条线段,作出两条线段的和,然后证明这条线段等于第三条线段.
在第三条线段上截取一段等于第一条线段,然后证余下的线段等于第二条线段.
就是通常所说的截长补短.
正解证线段的和差问题,常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条(或几条)线段转化到同一直线上.可以通过翻折构造全等三角形.在无法进行直接证明的情形下,利用"截长补短"作辅助线的方法,常可使思路豁然开朗,问题迎刃而解.

在AC上取一点E,使得AB=AE,连接DE
因为AD是角BAC的角平分线
所以∠BAD=∠EAD
且AB=AE,AD为公共边
所以ΔABD≌ΔAED（边角边）
所以BD=ED,∠B=∠AED
因为∠B=2∠C
所以∠AED=2∠C
而∠AED=∠C+∠CDE
所以∠C=∠CDE
所以DE=CE
所以BD=CE
因为AE+CE=AC
所以AC=AB+BD

证明：过点A在边AB上截取AC'使得AC'=AC,
由题意：AP为角平分线,即∠C'AP=∠CAP,又AP=AP,所以：△C'AP≌△CAP,可得：C'P=CP.在△C'BP中始终存在：BC'>BP-C'P（三角形的任意一条边长大于另外两条边的差）,
而：BC'=AB-AC'=AB-AC,BP-C'P=BP-CP
所以：AB-AC>BP-CP

几何证题难不难,关键常在辅助线；
知中点、作中线,中线处长加倍看；
底角倍半角分线,有时也作处长线；
线段和差及倍分,延长截取证全等；
公共角、公共边,隐含条件须挖掘；
全等图形多变换,旋转平移加折叠；
中位线、常相连,出现平行就好办；
四边形、对角线,比例相似平行线；
梯形问题好解决,平移腰、作高线；
两腰处长义一点,亦可平移对角线；

证明：延长CB到G,使得BG=DF.
在正方形ABCD中
1,证明：RT⊿ADF≌RT⊿ABG,DF=BG
∵∠D=∠ABC=90°（正方形的内角等于90度）,∠ABC+∠ABG=180°（平角为180度）
∴∠D=∠ABG=90°（等量公理）
∵AD=AB（正方形的边长相等）,DF=BG（所做）
∴RT⊿ADF≌RT⊿ABG（两角夹边相等,两三角形全等）
∴AF=AG,∠DAF=∠BAG（全等三角形的对应边,对应角相等）
2,证明：∠EAF=∠EAG=45°
∵AD=AC（正方形的边长相等）
∴∠DAC=∠DAF+∠FAC=90°/2=45°（直角三角形的锐角和为90度,三角形的等边对等角）
∵∠EAF=∠EAC+∠FAC=45°（已知）
∴∠DAF=∠EAC=∠BAG（等量公理）
同理可证：∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=45°（等量公理）
∴∠EAF=∠EAG=45°
3,证明：⊿EAF≌⊿EAG,EF=BE+BG=BE+DF
∵AE是公用边
∴⊿EAF≌⊿EAG（两边夹角相等,两三角形全等）
∴EF=EG=BE+BG=BE+DF（全等三角形对应边相等）

答案分别是：截取　斩钉截铁　一截

一般是有角平分线,中线的时候用的

1,过E,左高EM,垂足是M,EM//QH,CQ = EQ,
则 ,EM = 2QH = 2 ,S = EF*EM/2 = 2
2 连接 PQ,延长,交BC于N
容易 证,三角形EPQ,CNQ全等.
EP = CN,PQ = QN,又角PBQ = 角 CBQ,BQ=BQ,
三角形PBQ,NBQ全等,BP = BN
BC = EP+BP

人说几何很困难,难点就在辅助线.
辅助线,如何添?把握定理和概念.
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验.
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线.
也可将图对折看,对称以后关系现.
角平分线平行线,等腰三角形来添.
角平分线加垂线,三线合一试试看.
线段垂直平分线,常向两端把线连.
[例题1]
如图1,D是⊿ABC的边AC的中点,延长BC到点E,使CE=BC,ED的延长线交AB于点F,求ED∶EF.
分析：
思路一：过C作AB的平行线交DE于G,由D是AC的中点可得FD=DG,由CE=BC可得FG=GE,从而得ED∶EF=3∶4.
思路二：过D作BE的平行线交AB于I,类似法一得ID∶BC=1∶2,ID∶BE=1∶4,从而得ED∶EF=3∶4.
思路三：过D作AB的平行线交BE于H,易得BH=HC=1/4BE,得ED∶EF=3∶4.
说明：本题三种思路所添加的三条平行线,均是为了充分利用“D是⊿ABC的边AC的中点”这一条件,使本来感觉比较薄弱的一个条件,在平行线的作用下变得内涵丰富,既有另外一边的中点出现,又可以利用三角形的中位线定理,这样使用起来就更加得心应手.
构造图形,补题设(已知)的不足有时必须添加一些图形,使题设条件能充分显示出来,从而为定理的应用创造条件,或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论,便于思考与证明.
[例题2]
已知：O是正方形ABCD内一点,∠OBC=∠OCB=15°求证：⊿AOB是等边三角形.
分析：
(如图2)构建三角形OMC.使DH⊥OC于H,则∠2=15°作∠DCM=15°则⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM
∴∠DMO=360°-60°-150°=150° ∴∠1=∠MOD=15° 从而有∠DOC=∠DCO=75°,DO=DC=AD=AB=AO
说明：本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形,然后借助构造出的图形解答题目.
把分散的几何元素聚集起来
有些几何题,条件与结论比较分散.通过添加适当的辅助线,将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上,使他们相对集中、便于比较、建立关系,从而找出问题的解决途径.
[例题3]
如图8,△ABC中,∠B=2∠C,且∠A的平分线为AD,问AB与BD的和等于AC吗?
思路一：如图9,在长线段AC上截取AE=AB,由△ABD≌△AED推出BD=DE,从而只需证EC=DE.
思路二：如图10,延长短线段AB至点E,使AE=AC,因而只需证BE=BD,由△AED≌△ACD及∠B=2∠C,可证∠E=∠BDE,从而有BE=BD.
思路三：如图10,延长AB至E,使BE=BD,连接ED,由∠ABD=2∠C,∠ABD=2∠E,可证△AED≌△ACD,可得AE=AC,即AC=AB+BD.
说明：这道例题就是利用辅助线,把本来不在一条直线的线段AB与BD聚集到一条直线上来,这样就可以轻松得到AB+BD或者AC—AB,然后题目就迎刃而解了.
平面几何中添加辅助线的方法是灵活多变的,这就要求我们熟练掌握数学中的基本概念和基本定理,在实践探索中经常进行归类总结,仔细分析题目给我们的条件,找到隐含的及一些有规律的信息.
来源
要证线段倍与半,延长缩短可试验.
三角形中两中点,连接则成中位线.
三角形中有中线,延长中线等中线.
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点.
梯形里面作高线,平移一腰试试看.
平行移动对角线,补成三角形常见.
证相似,比线段,添线平行成习惯.
等积式子比例换,寻找线段很关键.
直接证明有困难,等量代换少麻烦.
斜边上面作高线,比例中项一大片.

证明：
取AB中点E,连接DE
∵AD=BD
∴DE⊥AB,即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】
∵AB=2AC
∴AE=AC
又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】
AD=AD
∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）
∴∠C=∠AED=90º
∴CD⊥AC

∠BDA=∠ADC=60
即BDC=120
延长BD到E使DE=DC 则DCE等边三角形
只需证明AD=BE
AC=BC ACD=60+BCD=BCE DC=CE
所以ACD全等BCE AD=BE得证

去买本书吧，书名是《怎样解题》-初中平面几何添加辅助线的方法与技巧，总主编，薛金星，关于三角形的辅助线都有
1与角平分线有关的辅助线
2有中点常用的引辅助线方法
3与垂直有关的辅助线
4用分大、补小化等法证不等关系（截长补短）
5折半加倍法（倍长中线法）
6平移旋转对称引辅助线法....................
还有很多，每个章节都分别说明了在三角形，四边形，圆中的用法，每章节都配有一定数量的题，
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截长补短是证明 一条线段等于另两条线段的和或差的方法
几何题的辅助线的方法有 中线 ,延长中线法
有等腰三角形 作底上的高
有直径 连结 构成直径所对的圆周角是90度
有构造三角形全等
平移或旋转

∵AB=AC,∠A=108°
∴∠ABC=∠C=36°
∵BD平分∠ABC,那么∠1=∠2=18°
∴∠ADB=180°-∠A-∠1=54°
在BC是截取BE=AB,连接DE
∵∠1=∠2,AB=BE,BD=BD
∴△ABD≌△EBD(SAS)
∴∠BED=∠A=108°
∴∠CED=180°-∠BED=180°-108°=72°
∴∠CDE=180°-∠CED-∠C=180°-72°-36°=72°
∴∠CED=∠CDE
∴CD=CE
∴BC=BE+CE=AB+CD