设n阶阵A满足A3_3A-2I=0,问A-2I是否可逆?若可逆,写出其逆阵.

首先,矩阵多项式为零矩阵推不出矩阵为零矩阵,比如A=[0,1;0,0]不为零矩阵,但A^2=零矩阵
Ax=ax
=> A^2 x= A(Ax)=A(ax)=a^2 x,
...
=>A^n x=a^n x,
线性组合一下,就知道若A有特征值a,则任意的矩阵多项式f(A)有特征值f(a),（比如 A^n+A 有特征值a^n+a).
你那个题本身有问题,比如取一个很特殊的矩阵多项式f（A)=0*A,不管什么矩阵作用后都为零矩阵,但显然不一定特征值都为0.
再者,任何矩阵都是有最小多项式的.假设矩阵A（n*n）有特征值lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,对应的特征向量x_1,x_2,...,x_n构成一R^n的一组基.
这样的话,我们构造f(A)=(lambda_1-A)(lambda_2-A)...(lambda_n-A),(注意在这里括号可以交换,因为A和A自身和I是交换的)
任取向量x属于R^n,展开x=alpha_1*x_1+alpha_2*x_2+...+alpha_n*x_n
可见f(A)x_1=(lambda_2-A)...(lambda_n-A)(lambda_1-A)x_1=0,
同理f(A)x_2=0,
...
f(A)x_n=0.
故f(A)x也为零向量
这样,f(A)作用在任何向量上都为0,f(A)只能为零矩阵.（若不然,设a_(i,j)不为0,可以找到一个向量e_j(第j个元素为1,其余元素都为0),则A*e_j的第i个元素非0）.
所以随便找一具有n个线性无关特征向量的矩阵A,我们都可以构造出来f(A)为零矩阵,阶数最低的、最高项系数为1的f称为A的最小多项式.
要是题目中的A恰巧为这个最小多项式,根本推不出来A的特征值全为0.要是把f改为任意的矩阵多项式,这个题又太简单了,直接取f(A)=A,就知道A是零矩阵,当然特征值全为0.所以这个题目本身是完全错误的.
参考资料中是最小多项式的一般形式.这个最小多项式在理论分析中是非常有用的.

因为A的特征值为1.-1,2
所以 |A| = 1*(-1)*2 = -2.
且 A*+3A-2E 的特征值为 |A|/1 - 3*1 - 2,|A|/(-1) -3*(-1) - 2,|A|/2 -3*2 - 2,即 -7,3,-9
所以 |A*+3A-2E| = (-7) * 3 * (-9) = 189.

解题思路：根据矩阵的迹即为矩阵对角线上元素之和，以及 tr（A+B）=tr（A）+tr（B），只需说明PAP^-1和P^-1AP的迹相等，即可求出答案．

由于（P²）^-1[PAP^-1]P²=P^-1AP，
∴PAP^（-1）与P^（-1）AP 相似
故PAP^-1和P^-1AP有相同的迹 （即对角线元素之和）
又tr（A+B）=tr（A）+tr（B）
∴tr（B）=tr（PAP^-1-p^-1AP+E）=tr（PAP^-1）-tr（p^-1AP）+tr（E）=0+tr（E）=n
而tr（B）=λ₁+λ₂+…+λ_n
∴λ₁+λ₂+…+λ_n=n

点评：
本题考点： 矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 此题考查矩阵特征值与矩阵的迹的关系，以及矩阵迹的性质，是基础知识点的综合．

A*=|A|A^-1=(1/2)A^-1,|A^-1|=|A|^-1=2
|(3A)^-1-2A*|
=|(1/3)A^-1-A^-1|
=|(-2/3)A^-1|
=(-2/3)^3|A^-1|
= -16/27.
|2B^TA^-1|
= 2^3|B^T||A^-1|
= 8|B||A|^-1
= 8*2*2
= 32.

B是m×n矩阵,BX = 0的解就是使得B的列向量线性组合得0的组合系数.
因此BX = 0只有零解,等价于B的列向量线性无关,等价于B的列秩为n,即r(B) = n.
也可以有别的说法,例如由BX = 0的解空间维数为n-r(B).