f(x)=2sinxcosx+2cos平方x-1的最小正周期单调减区间

f(x)=2sinxcosx+2(cosx)^2-3
=sin(2x)+cos(2x)
=√2sin(2x+π/4)
=√2sin[2(x+π/8)]最小正周期T=2π/2=π2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2 (k∈Z)时,函数的单调递增区间为[kπ-3π/8,kπ+π/8] (k∈Z)

f（x）=2√3sinxcosx+2cos^2-1=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+30)
在区间闭区间0,π/2 上 当2x+30=90 即x=30=pi/6时最大
最大值是2

（1）∵α=π/4,∴c=（√2+sinx,√2+cosx）
f（x）=b·c=cosx（√2+sinx）+sinx（cosx+√2）
=√2cosx+cosx*sinx*2+√2sinx
=-1+（sinx+cosx）²+√2（sinx+cosx）
令sinx+cosx=t=√2sin（x+π/4) 属于【-√2,+√2】
∴y=t²+√2t-1 当t=-√2/2 最小值为-1.5 x+π/4=-π/6+2kπ ∴x=-5π/12kπ
（2）∵a与b的夹角为π/3
∴0.5=cosα*cosx+sinα*sinx=cos（x-α） 可以假设x-α=π/2
a⊥c ∴ac=0
∴cosα*sinx+2cosα*sinα+sinα*cosx+2cosα*sinα=0
sin（α+x）+4osα*sinα=0 ∴ sin（α+α+π/2）+2sin2α=0
∴2sin2α+cos2α=0 ∴tan2α=-0.5.

(1).当α=π/4时,b•c=2sinxcosx+2sinαcosx+2cosαsinx=sin2x+(√2)(sinx+cosx)
设y=sin2x+(√2)(sinx+cosx),再令y′=2cos2x+(√2)(cosx-sinx)=2(cos²x-sin²x)+(√2)(cosx-sinx)
=2(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(√2)(cosx-sinx)=(cosx-sinx)(2cosx+2sinx+√2)
=(cosx-sinx)[2(√2)sin(x+π/4)+√2]=2(√2)(cosx-sinx)[sin(x+π/4)+1/2]=0
于是得cosx-sinx=0,即有tanx=1,故得驻点x=π/4+kπ；
及sin(x+π/4)+1/2=0,sin(x+π/4)=-1/2,x+π/4=-π/6+2kπ,故得驻点x=-5π/12+2kπ；
因为是周期函数,极值点的分析很麻烦,详细过程太繁琐,故免去；可以肯定,x=-5π/12
是一个极小点；此时min(b•c)=sin(-5π/6)+(√2)[sin(-5π/12)+cos(-5π/12)]
=-sin(π/6)+(√2)[cos(5π/12)-sin(5π/12)]=-1/2+2cos(5π/12+π/4)=-1/2+2cos(2π/3)
=-1/2-2cos(π/3)=-1/2-1=-3/2.
(2)cos(π/3)=a•b/[︱a︱︱b︱]=(cosxcosα+sinxsinα)/(1×1)=cos(x-α)
故得x-α=π/3,x=α+π/3；∵a⊥c,
∴a•c=sinxcosα+2sinαcosα+cosxsinα+2sinαcosα=sin(x+α)+2sin2α=sin(2α+π/3)+2sin2α=0
于是得(1/2)sin2α+(√3/2)cos2α+2sin2α=0,即有(5/2)sin2α+(√3/2)cos2α=0,∴tan2α=-√3/5

已知向量a=（cosα,sinα）,向量b（cosx,sinx）,向量c=（sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0＜α＜x＜π；（1）若向量a与向量b的夹角为π/3,且向量a⊥向量c,求tan2α的值；
（2）若α=π/4,求函数f（x）=向量b•向量c的最小值及相应的x的值
(1)cos(π/3)=a•b/[︱a︱︱b︱]=(cosxcosα+sinxsinα)/(1×1)=cos(x-α)
故得x-α=π/3,x=α+π/3；∵a⊥c,
∴a•c=sinxcosα+2sinαcosα+cosxsinα+2sinαcosα=sin(x+α)+2sin2α=sin(2α+π/3)+2sin2α=0
于是得(1/2)sin2α+(√3/2)cos2α+2sin2α=0,即有(5/2)sin2α+(√3/2)cos2α=0,∴tan2α=-√3/5.
(2).当α=π/4时,b•c=2sinxcosx+2sinαcosx+2cosαsinx=sin2x+(√2)(sinx+cosx)
设y=sin2x+(√2)(sinx+cosx),再令y′=2cos2x+(√2)(cosx-sinx)=2(cos²x-sin²x)+(√2)(cosx-sinx)
=2(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(√2)(cosx-sinx)=(cosx-sinx)(2cosx+2sinx+√2)
=(cosx-sinx)[2(√2)sin(x+π/4)+√2]=2(√2)(cosx-sinx)[sin(x+π/4)+1/2]=0
于是得cosx-sinx=0,即有tanx=1,故得驻点x=π/4+kπ；
及sin(x+π/4)+1/2=0,sin(x+π/4)=-1/2,x+π/4=-π/6+2kπ,故得驻点x=-5π/12+2kπ；
因为是周期函数,极值点的分析很麻烦,详细过程太繁琐,故免去；可以肯定,x=-5π/12
是一个极小点；此时min(b•c)=sin(-5π/6)+(√2)[sin(-5π/12)+cos(-5π/12)]
=-sin(π/6)+(√2)[cos(5π/12)-sin(5π/12)]=-1/2+2cos(5π/12+π/4)=-1/2+2cos(2π/3)
=-1/2-2cos(π/3)=-1/2-1=-3/2.

f(x) =2sin(x-π/6)cosx+2cos²x
=2(sinxcosπ/6-cosxsinπ/6)cosx+2cos²x
=√3sinxcosx+(cosx)^2
=(√3/2)*sin2x+(cos2x+1)/2
=(√3/2)*sin2x+(1/2)*cos2x+1/2
=sin(2x+π/6)+1/2
单调递增区间：
2kπ-π/2

(1)α =45° f(x)=2sin(x+π/4)+sin2x
因为0

f(x)=sin2x+cos2x-2=根号2sin(2x+π/4)-2
T=π
增区间[kπ-3π/8.kπ+π/8] 减区间[kπ+π/8.kπ+5π/8]
当sin(2x+π/4)=1时,即x=kπ+π/8,最大值 根号2-2

（1）f（x）=sin2x+cos2x…（2分）
=
2 sin(2x+
π
4 ) …（5分）
所以f（x）的最大值为
2 …（6分）．
（2）由（1）得 f(α+
π
8 )=
2 sin[2(α+
π
8 )+
π
4 ]=
2 sin(2α+
π
2 ) …（7分）
=
2 cos2α …（8分）
P（-3，4）在角α的终边上， cosα=-
3
5 …（10分）
所以 f(α+
π
8 )=2
2 co s 2 α-
2 …（11分）
= -
7
2
25 …（12分）．

(1)α =45° f(x)=2sin(x+π/4)+sin2x
因为0

（1）f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x+m=√3sin2x+1+cos2x +m=2sin(2x+π/6) +m+1.T=2π/2=π（2）0≤x≤π/2π/6≤2x+π/6≤7π/6-1≤2sin(2x+π/6）≤2m≤2sin(2x+π/6）+m+1≤3+m所以m=1/23+m=7/2所以m=1/2...

16. (1) ∵ b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4， ∴ f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα ＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．(2分) 令t＝sinx＋cosx(0＜x＜π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t≤2. 则y＝f(x)＝t2＋2t－1＝(t＋22...

（1）向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),
f(x)=b*a=cosxcosα+sinxsinα
=cos(x-α)=cos(x-45°）,
0

f（x）=cosx+2cos（x-60°）
=cosx+2(cosxcos60°+sinxsin60°)
=2cosx+√3sinx
=√7sin(x+b) 其中b=arcsin(2√7/7)
因为：sin(x+b)∈[-1,1]
所以,值域：y∈[-√7,√7]

f(x)=2sin(x-π/6)cosx+2cos²x
=(2sinxcosπ/6-2cosxsinπ/6)cosx+2cos²x
=√3sinxcosx-cos²x+2cos²x
=√3sinxcosx+cos²x
=2(√3/2sinx+1/2cosx)cosx
=2six(x+π/6)cosx
=sin(2x+π/6)+sinπ/6
=sin(2x+π/6)+1/2

√3sinx-cosx+2cos(x-π/6)
=2sin(x-π/6)+2cos(x-π/6)
=2√2sin[(x-π/6)+π/4]
=2√2sin(x+π/12)