设A为秩为m的m×n型矩阵,证明：存在秩为m的 n×m型矩阵B,使得AB=E

高扬风2022-10-04 11:39:541条回答

设A为秩为m的m×n型矩阵,证明：存在秩为m的 n×m型矩阵B,使得AB=E
证明不用很详细,关键是思路!

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gzhm_1999 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%: 不知道条件中是否有n>=m,
如果是n>=m
则可知无论经过怎样化简,不会使得A的某一行或者某一列为0,类似方阵若A不为0,则肯定有逆矩阵,我想这里也是一样; 1年前

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方程组Bx＝0的解都是Cx＝0的解,但是C可逆,所以Cx＝0只有零解,所以Bx＝0也只有零解,所以B的列向量线性无关

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解题思路：考查矩阵秩的性质的使用．由AB=E，可以看出r（AB）=r（E）=m；进而由两个矩阵相乘的秩≤这两个矩阵中任何一个矩阵的秩，得到结论．
由于AB=E，
所以：r（AB）=r（E）=m，
又：r（AB）≤r（A）≤min{m，n}，
r（AB）≤r（B）≤min{m，n}，
故选：A．

点评：
本题考点：矩阵的秩的性质．

考点点评：两个矩阵相乘的秩的性质，也可以推广到三个或三个以上矩阵相乘的秩，即：若D=ABC，则r（D）≤min{r（A），r（B），r（C）}．

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