∵函数f(x)的最大值为1 ∴A = 1（注：根据第一点,最大值为1×A）

①k为偶数时，f（x）=-sinx；k为奇数时，f（x）=sinx，不管怎样，都有f（-x）=-f（x），
函数是奇函数，故①对；
②由正切函数的图象，可知对称中心为（kπ，0），（kπ+
π
2，0）（k为整数），故②对；
③若函数f（x）=sin|x|最小正周期为π的周期函数，则f（x+π）=f（x），取x=[π/2]，则
f（[3π/2]）=sin（[3π/2]）=-1，f（[π/2]）=1，矛盾，故③错；
④设θ是第二象限角，比如θ=[8π/3]，[θ/2]=[4π/3]，则tan[4π/3]=
3，cot[4π/3]=

3
3，sin[4π/3]=-

3
2，
cos[4π/3]=-[1/2]，则tan[θ/2]＞cot[θ/2]，且sin[θ/2]＜cos[θ/2]，故④错

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，及最值，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．

联立两个函数的解析式，

y＝
x−1
x+1
y＝x，易得该方程组无解，则①函数f(x)＝
x−1
x+1与g（x）=x的图象没有公共点，正确；
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则f（x+3）=-f（x），f（x+6）=-f（x+3）=f（x），故f（x）的周期为6，故②正确；
若对于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，令f（x）=x²-ax+2，则f（1）＜0且f（3）＜0，解得a＞
11
3，故③正确；
当x＞0时，不存在正常数M使|x²+1|=x²+1≤M|x|=Mx恒成立，故④错误；
故答案为：3

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；函数的周期性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的周期性，函数恒成立问题，熟练掌握函数的性质及不等式与对应函数之间的辩证关系是解答本题的关键．

①∵f（x）=lnx-2+x在（1，e）上连续不断，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，
∴函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点，即①正确；
②不妨令f（x）=x³，则f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）=x³在R上单调递增，无极值，而f′（0）=0，
∴②若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值，错误；
③令g（x）=x²-2x-m，依题意，方程x²-2x-m=0有实根，
∴△=（-2）²-4×（-m）=4+4m≥0，
∴m≥-1，故③正确；
对于④，方程方程x+lgx=5和方程x+10^x=5的可化为方程lgx=5-x和方程10^x=5-x，
令f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=5-x，画图：
显然x₁是函数f（x）=lgx 与 y=5-x图象的交点的横坐标，
x₂是函数g（x）=10^x与 y=5-x的图象的交点的横坐标，
由于函数 f（x）=lgx与g（x）=10^x的图象关于y=x对称，直线y=5-x也关于y=x 对称，且直线 y=5-x与它们都只有一个交点，
∴这两个交点关于y=x对称．又因为两个交点的中点P是y=5-x与y=x 的交点，即P（[5/2]，[5/2]），
∴x₁+x₂=2×[5/2]=5，
∴④正确．
∴正确的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查零点存在定理、极值的概念、对数函数的性质及反函数，属于中档题．

∵f（-1）＜0，f（0）＞0，故函数f（x）在（-1，0）上有一个零点，又∵f（2）=f（4）=0，故函数f（x）至少有三个零点，故①错误；
若任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(
x1+x2
2)＜
f(x1)+f(x2)
2，则函数f（x）为凹函数，但函数f（x）=lnx为凸函数，故②错误；
∵f（x）=|2^-x-1|在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，故当a＜b时有f（a）＜f（b）时，b＞0，则必有0＜f（b）＜1，故③正确；
设须计算n次，则n满足
b−a
2n=
0.1
2n＜0.0001，即2ⁿ＞1000．由于2⁹=512＜1000，2¹⁰=1024＞1000，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次，即④正确．
故答案为：③④

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 在用二分法求方程的近似解时，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．

①∵3x-6=0的解是x=2，∴函数f（x）=3x-6的零点是2，即命题正确；
②∵x²+4x+4=0的解是x=-2，∴函数f（x）=x²+4x+4的零点是-2，即命题正确；
③当log₃（x-1）=0时，x-1=1，∴x=2，故③错；
④x=0时，2^x-1=1-1=0，∴函数f（x）=2^x-1的零点是0，即命题正确．
故选C．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；函数的零点．

考点点评： 本题考查函数的零点，考查解方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

①∵函数f（x）=2^x，∴对任意x₁，x₂∈R，有f（
x1+x2/2]）-[1/2][f（x₁）+f（x₂）]=2
x1+x2
2-[1/2]（2x1+2x2）；
∵[1/2]（2x1+2x2）≥[1/2]×2
2x12x2=2
x1+x2
2，当且仅当x₁=x₂时取“=”，∴f（
x1+x2
2）＜[1/2][f（x₁）+f（x₂）]成立；∴命题正确；
②∵函数f（x）=log2(x+
1+x2)（x∈R），∴f（-x）=log₂（-x+
1+(−x)

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题通过命题真假的判定，考查了函数单调的性质与图象的变换以及方程的知识，是容易出错的题目．

①、由x+1＞0且x-1＞0解得，x＞1，则函数的定义域是（1，+∞），故①对；
②、设f（x）=x^α，把(2，
2)代入解得，α=[1/2]，故②不对；
③、因y=1-x在定义域上是减函数，而y=log₂x在定义域上是增函数，故原函数的减区间是（-∞，1），
故③不对；
④、因|x|≥0，所以3^|x|≥1，即函数的值域是[1，+∞），故④对．
故答案为：①④．

点评：
本题考点： 对数函数的单调区间；函数奇偶性的判断；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的定义域．

考点点评： 本题是有关基本初等函数的性质的综合题，考查了对数函数的定义域和单调性，幂函数的解析式以及奇偶性，指数函数的值域等知识，考查全面但是难度不大．

对于①，函数y=tanx的图象的对称中心为（[kπ/2]，0）⊇（kπ+[π/2]，0）（k∈Z），故①正确；
对于②，由正切函数的性质可知②是正确的；
对于③，先将原函数化成y=−sin2x+sinx+1＝−(sinx−
1
2)2+
5
4≥−(−1−
1
2)2+
5
4＝−1，故③是正确的；
对于④，根据θ的范围，可知[θ/2]的范围是(kπ+
π
4，kπ+
π
2)，k∈Z，当k是奇数时，则有0＞cos[θ/2]＞sin[θ/2]＞-1，故④错误；
对于⑤，因为θ是第三象限的角，所以-1＜cosθ＜0，而（-1，0）⊆（−
π
2，0），所以sin（cosθ）＜0，cos（cosθ）＞0，所以点P（sin（cosθ），cos（cosθ））在第二象限，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题以命题考查为载体考查三角函数的有关知识和方法，属于基础题，难度不大．

（1）函数f（x）在区间(−∞，
1
2]上单调递减，在(
1
2，+∞)上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x³符合条件①：对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
有y1−y2＝x23−x13=(x2−x1)(x22+x1x2+x12)=(x2−x1)[(x2+
1
2x1)2+
3
4x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的减函数．
又因为y=-x³在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y＝k+
x是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有

a＝k+
a
b＝k+
b；
故a

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值．

①∵9^x+（4+a）•3^x+4=0，∴a+4=-
32x+4
3x，
令3^x=t（t＞0），则-
32x+4
3x=-（t+[4/t]）
因为t+[4/t]≥4，所以-
32x+4
3x≤-4，
∴a+4≤-4，
∴a的范围为（-∞，-8]；
②函数f(x)＝log2a2−ax是减函数，则0＜2a²-a＜1，∴-[1/2]＜a＜0或[1/2]＜a＜1，
∴当①与②至少有一个真命题时，a∈（-∞，-8]∪（-[1/2]，0）∪（[1/2]，1）．
故答案为：（-∞，-8]∪（-[1/2]，0）∪（[1/2]，1）．

点评：
本题考点： 四种命题．

考点点评： 本题考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域、方程有解问题、基本不等式求最值问题，考查对数函数，同时考查转化思想和换元法．

函数f（x）=sin（[π/3]-x），∴函数f′（x）=-cos（[π/3]-x）=sin（x+
7π
6），
∴函数f（x）=sin（[π/3]-x）=sin（x+[2π/3]），
∴将函数y=f（x）图象上所有的点向左平移[π/2]个单位长度得到y=sin（x+[π/2]+[2π/3]）=sin（x+
7π
6），
故选：A．

点评：
本题考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正确理解图象平移变换规律是解题关键．注意变换前后函数的名称相同，相位相同是解题的关键．

①当c=0时，f（x）=x|x|+bx
∵f（-x）=（-x）|-x|+b（-x）=-x|x|-bx=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数．
反之，∵函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数
∴f（-x）=-f（x）恒成立
∴-x|-x|+b（-x）+c=-x|x|-bx-c恒成立
∴2c=0
即c=0
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0．
②∵函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，
∴函数y=x²+ax-a能取遍一切正实数．
∴△=a²-4×（-a）=a²+4a≥0
解得a≤-4，或a≥0．
③∵函数函数y=f（x-1）的图象是偶函数，
∴函数图象关于y轴对称，
∵函数y=f（x）的图象可以由函数y=f（x-1）的图象向左平移一个单位得到
故函数y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．
故正确的是①②

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题主要考查了函数的性质及函数的图象、充要条件的判断，尤其第二个命题容易判断为△＜0而产生错误．

对以①∵f（-[5π/12]）=4cos[2（-[5π/12]）+[π/3]]=0，∴（−
5π
12，0）是函数的对称中心．
故①正确
对于②，f（x）=min{sinx，cosx}=

sinx，sinx＜cosx
cosx，sinx≤cosx
=

sinx，x∈[2kπ−
3π
4，2kπ+
π
4]
cosx，x∈[2kπ+
π
4，2kπ+
5π
4]，x∈[2kπ+
π
4，2kπ+
5π
4]
当x∈[2kπ−
3π
4，2kπ+
π
4]时，f（x）的取值范围是[−1，

2
2]
当 x∈[2kπ+
π
4，2kπ+

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查了三角函数的图象和性质

（Ⅰ）∵f(x)＝
x
2+
sinx
4，∴求导数，得f′(x)＝
1
2+
1
4cosx，
由cosx∈[-1，1]，可得f′(x)∈[
1
4，
3
4]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又∵当x=0时，f （0）=0，∴方程f （x）-x=0有实数根x=0．
因此，函数f(x)＝
x
2+
sinx
4是集合M中的元素．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-x，∴求导数得：g'（x）=f'（x）-1
∵函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，
∴g'（x）=f'（x）-1＜0，可得g（x）为单调减函数；
（Ⅲ）∵函数y=f（x）满足f'（x）＞0，∴f（x）为增函数，
又∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），可得f（x₂）-f（x₁）＞0．
又∵由（II）的结论，得g（x）=f（x）-x为单调减函数，
∴g（x₁）＞g（x₂），可得f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
即f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂＞0，整理得f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，
综上所述，0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁成立．

点评：
本题考点： 不等式的证明；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题给出函数的特殊定义，判断f(x)＝x2+sinx4是否符合该定义，并依此定义证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、运用函数的单调性证明不等式和不等式的等价变形等知识，属于中档题．

①函数f(x)＝2cos2(
π
4−x)−1
=cos（[π/2]-2x）
=sin2x，
∵ω=2，∴T=[2π/2]=π，
又正弦函数为奇函数，∴f（x）为奇函数，
则f（x）为周期为π的奇函数，本选项错误；
②函数y＝cos(
π
4−2x)+1
=cos[[π/2]-（[π/4]+2x）]+1
=sin（[π/4]+2x）+1，本选项正确；
③函数y＝cos(
π
4−2x)+1
=cos[[π/2]-（[π/4]+2x）]
=sin（[π/4]+2x），
令[π/4]+2x=kπ，（k∈Z）
解得x=[kπ/2]-[π/8]，
∵k=4时，x=[5π/8]，
则函数图象关于直线x＝
5π
8对称，本选项正确；
④tan（-x）=-tanx，因此正切函数是奇函数，因而原点（0，0）是它的对称中心．
又因为正切函数的周期是π，所以点（kπ，0）都是它的对称中心．
平移坐标系，使原点（0，0）移到（ [π/2]，0）得到y=tan（x+[π/2]）=-cotx，依旧是奇函数，
所以在新坐标系中点（kπ，0）也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是（kπ-[π/2]，0）
综合到一起就得到对称中心是（k [π/2]+[π/2]，0）．（k是整数），本选项错误；
⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移[π/4]个单位，
得到y=sin2（x+[π/4]），
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
所得图象的函数解析式为y=sin2（[1/2]x+[π/4]）=sin（x+[π/2]）≠sin(x+
π
4)，
本选项错误，
则正确选项的序号为：②③．
故答案为：②③

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性；正切函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 此题综合考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形，余弦函数的对称性，以及三角函数的图象变换规律，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，诱导公式，函数奇偶性的判断，以及函数平移的规律，要求学生要融汇贯穿，灵活运用所学知识解决问题．

由①知函数的周期是π．
A．函数的周期T=[2π

1/2=4π，∴①不成立．
B．函数的周期T=
2π
2=π，∴①成立，当x=
π
3]时，.f(
π
3)=sin⁡(2×
π
3-
π
6)=sin⁡
π
2=1为最大值，∴②成立．故B满足条件．
C．函数的周期T=[2π/2=π，∴①成立，当x=
π
3]时，.f(
π
3)=cos(2×
π
3-
π
6)=cos
π
2=0不是最大值，∴②不成立．
D．函数的周期T=[2π/2=π，∴①成立，当x=
π
3]时，.f(
π
3)=cos⁡(2×
π
3-
π
3)=cos⁡
π
3=
1
2不是最大值，∴②不成立．
故选：B．

点评：
本题考点： 正弦函数的图象；余弦函数的图象．

考点点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期公式以及对称轴的性质．

证明：：（1）令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是单调递减函数，
所以，方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由题设①知方程f（x）-x=0有实数根，
所以，方程f（x）-x=0有且只有一个实数根…..（4分）
（2）易知，g′（x）=
1
2]-[1/2x]，则0＜g′（x）＜1，满足条件②；
令F（x）=g（x）-x=−
x
2−
lnx
2+3(x＞1)，
则F（e）=−
e
2−
lne
2+3=−
e
2+
5
2＞0，F（e²）=−
e2
2+1＜0，…..（7分）
又F（x）在区间[e，e²]上连续，所以F（x）在[e，e²]上存在零点x₀，
即方程g（x）-x有实数根x₀∈[e，e²]，故g（x）满足条件①，
综上可知，g（x）∈M…（9分）
（Ⅲ）不妨设α≤β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，
∴f（α）≤f（β），即f（β）-f（α）≥0，，
令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是单调递减函数，
∴f（β）-β≤f（α）-α，即f（β）-f（α）≤β-α，
∴0≤f（β）-f（α）≤β-α，
则有|f（α）-f（β）|≤|α-β|．…..…．（13分）

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点；导数的运算．

考点点评： 本题是函数与方程的综合应用，是函数零点与方程根关系的综合应用，其中利用导数法分析函数的单调性，进而判断函数零点的个数及对应方程根的个数难度较大．

①若α∈(0，
π
2)，则sinα+cosα=
2sin（x+[π/4]）＞1，正确；
②若α∈(0，
π
2)，则sinα＜tanα；符合三角函数线的实际意义，正确．
③函数f(x)＝sin(x−
π
2)(x∈R)在区间[0，[π/2]]上是增函数，是正确的．
故选D．

点评：
本题考点： 三角函数线．

考点点评： 本题是基础题，考查三角函数的有关性质，三角函数值的应用，常考题型．

根据题意得：函数f(x)＝cos(
π
2+x)sin(
3π
2+x)=（-sinα）•（-cosα）=sinαcosα=[1/2]sin2α，
①根据周期公式可得：f（x）=[1/2]sin2x的周期为π．所以①正确；
②f（[π/6]）=-f（[2π/3]），但是不满足x₁=-x₂，所以②错误；
③f（x）=[1/2]sin2x的所有对称轴为x=[kπ/2+
π
4]，显然③正确；
④f（x）=[1/2]sin2x的单调减区间为[kπ+[π/4]，kπ+[3π/4]]，（k∈Z），显然④正确，
则其中正确结论的个数为3．
故选D

点评：
本题考点： 正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．

考点点评： 此题考查了正弦函数的单调性及对称性，解决此类问题的关键是灵活利用诱导公式二倍角公式把函数解析式化为一个角的正弦函数，同时要求学生掌握三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．

①：由题意可得f（x+3）=-f（x+[3/2]）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为3，故①错误
②：由y=f（x-[3/4]）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x-[3/4]）向左平移 [3/4]个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（-[3/4]，0）对称，故②正确
③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-[3/4]-x）=-f（ −
3
4+x），用 [3/4+x代换x，可得：f（-
3
2]-x）+f（x）=0
∴f（-[3/2]-x）=-f（x）=f（x+[3/2]）对于任意的x∈R都成立．令t=[3/2]+x，则f（-t）=f（t），则可得函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故③正确
故选：B．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性对称性等函数知识的综合应用，解答本题的关键是熟练掌握函数的基本性质及一些常见结论的变形．

①函数y=x³的值域为R，y=3^x的值域为（0，+∞），故①错；
②函数y=log₂[1+x/1−x]，将x换为y，y换成x，得到x=log₂[1+y/1−y]，解得y=
2x−1
2x+1，函数式变化，
故②错；
③由于|x|≥0，则2^|x|≥2⁰=1，当x=0时，取最小值1．故③对；
④由关于y轴对称的特点，可得在同一坐标系中函数y=2^x与y=2^-x的图象关于y轴对称，故④对．
故答案为：③④

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的值域、单调性和对称性及应用，属于基础题．

①若f（x）=x|x|+bx+c为奇函数，则f（0）=0，即c=0，∴①正确．
②若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则函数t=x²+ax-a与x轴有交点即可，即△=a²+4a≥0，解得a≥0或a≤-4，∴②正确．
③若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x-1）关系y轴对称，将y=f（x-1）向左平移一个单位得到y=f（x），此时函数f（x）关于x=-1对称，∴③正确．
故答案为：①②③．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题主要考查函数的性质的应用，要求熟练掌握函数的性质．

函数y=tanx的图象的对称中心为（[kπ/2]，0）⊇（kπ+[π/2]，0）（k∈Z），故①正确；
函数f（x）=sin|x|是偶函数，由其图象易判断，它不是周期函数，故②不正确；
当θ为第二象限的角，不妨取θ=480°，则[θ/2]=240°，tant[θ/2]=an240°=tan60°=
3，
sin[θ/2]=sin240°=-sin60°=-

3
2，cos[θ/2]=cos240°=-cos60°=-[1/2]，sin[θ/2]＜tan[θ/2]，
故③不正确；
函数y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-(sinx−
1
2)2+[5/4]，∵sinx∈[-1，1]，∴y∈[-1，[5/4]]
∴函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．），故④正确
故答案为①④

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；三角函数的周期性及其求法；正切函数的奇偶性与对称性；三角函数的最值．

考点点评： 本题考查了三角函数的性质，做题时应认真审题，避免错误．