设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b）．

（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），则f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函数．
（3）因为un+1＝
f(2n+1)
2n+1＝
f(2•2n)
2n+1＝
2f(2n)+2nf(2)
2n+1＝
f(2n)
2n+
f(2)
2=u_n+1，即u_n+1-u_n=1，所以{u_n}是等差数列．又首项u1＝
f(2)
2＝1，公差为1，
所以a_n=n，Sn＝
n(n+1)
2．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；等差数列的通项公式；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查赋值法的巧妙使用、奇函数和偶函数的判定以及等差数列的证明和通项公式的求法，难度不是很大．

（Ⅰ）f（x）是奇函数，
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即
f（-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数，
（Ⅱ）证明：令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴x≠0时，f（x•[1/x]）=xf（[1/x]）+[1/x]f（x）=0
∴f（[1/x]）=-[1
x2f（x），
∴∀x，y∈R且y≠0，f（
x/y]）=f（x•
1
y）=xf（[1/y]）+[1/y]f（x）=-[x
y2f（y）+
1/y]f（x）=
yf(x)−xf(y)
y2；
∴∀x，y∈R且y≠0：f（[x/y]）=
yf(x)−xf(y)
y2；
（Ⅲ）∵a₁=f（2）=2 且f（xy）=xf（y）+yf（x）．
令x=2，y=2^n-1，
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
即a_n=2a_n-1+2n（n≥2），
∴
an
2n＝
an−1
2n−1+1，
∴{
an
2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴
an
2n=1+（n-1），
即a_n=n•2ⁿ．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查等差数列的问题，属于中档题．

解　（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
所以令x=y=1，得f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）=0；
（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
所以f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值．

考点点评： 本题考查抽象函数的函数值的求法：赋值法，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义和赋值，属于中档题．

解　（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
所以令x=y=1，得f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）=0；
（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
所以f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值．

考点点评： 本题考查抽象函数的函数值的求法：赋值法，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义和赋值，属于中档题．

若x≠0，xf（x+1）=（1+x）f（x），则有f（x+1）=[1+x/x]f（x），取x=-[1/2]，
则有：f（[1/2]）=f（-[1/2]+1）=
1−
1
2
−
1
2f（-[1/2]）=-f（-[1/2]）=-f（[1/2]）
∵f（x）是偶函数，则f（-[1/2]）=f（[1/2]）
由此得f（[1/2]）=0．
于是，f（[5/2]）=f（[3/2]+1）=
1+
3
2

3
2f（[3/2]）=[5/3]f（[3/2]）=[5/3]f（[1/2]+1）=[5/3][
1+
1
2

1
2]f（[1/2]）=5f（[1/2]）=0
故选：A．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．

若x≠0，xf（x+1）=（1+x）f（x），则有f（x+1）=[1+x/x]f（x），取x=-[1/2]，
则有：f（[1/2]）=f（-[1/2]+1）=
1−
1
2
−
1
2f（-[1/2]）=-f（-[1/2]）=-f（[1/2]）
∵f（x）是偶函数，则f（-[1/2]）=f（[1/2]）
由此得f（[1/2]）=0．
于是，f（[5/2]）=f（[3/2]+1）=
1+
3
2

3
2f（[3/2]）=[5/3]f（[3/2]）=[5/3]f（[1/2]+1）=[5/3][
1+
1
2

1
2]f（[1/2]）=5f（[1/2]）=0
故选：A．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．

（1）依题意，g1(x)＝
f(x)
x＝
a
x4−
1
x2−1在（0，+∞）上单调递增，
故[g1(x)]′＝−
4a
x5+
2
x3≥0恒成立，得a≤
1
2x2，…（2分）
因为x＞0，所以a≤0． …（4分）
而当a≤0时，g1(x)＝
a
x4−
1
x2−1＜0显然在（0，+∞）恒成立，
所以a≤0．…（6分）
（2）①先证f（x）≤0：
若不存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则g₂（x）≤0恒成立．…（8分）
假设存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则有f（x₀）＞0，
由题意，当x＞0时，g2′(x)≥0，可得g₂（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞x₀时，
f(x)
x2＞
f(x0)
x02恒成立，即f(x)＞
f(x0)
x02•x2恒成立，
故必存在x₁＞x₀，使得f(x1)＞
f(x0)
x02•x12＞m（其中m为任意常数），
这与f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当x＞0时，g₂（x）≤0，即f（x）≤0；…（13分）
②再证f（x）=0无
假设存在正实数x₂，使得f（x₂）=0，
则对于任意x₃＞x₂＞0，有
f(x3)
x32＞
f(x2)
x22＝0，即有f（x₃）＞0，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以f（x）=0无解，
综上得f（x）＜0，即g₂（x）＜0，
故所有满足题设的f（x）都是“2阶负函数”．…（16分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评： 本题给出“n阶负函数”和“n阶不减函数”的定义，讨论了2阶不减函数”f（x）能成为“2阶负函数”的条件，着重考查了利用导数研究函数的单调性、反证法思想和不等式的性质等知识，属于中档题．

证明：
∵在[a，b]连续的f（x）不恒为常数，且f（a）=f（b），
∴至少存在点c∈（a，b），使得：f（c）≠f（a）=f（b），
由题意知：f（x）在[a，c]和[c，b]满足拉格朗日中值定理，
∴存在点ξ₁∈（a，c）、ξ₂∈（c，b），使得：

f(c)−f(a)
c−a＝f′(ξ1)，

f(b)−f(c)
b−c＝f′(ξ2)，
又 f（c）-f（a）和f（b）-f（c）中必有一个大于0，
∴f′（ξ₁）、f'（ξ₂）中必有一个大于0，
即：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得：f′（ξ）＞0，证毕．

点评：
本题考点： 拉格朗日中值定理及推论的应用；罗尔中值定理．

考点点评： 此题是满足罗尔定理的，根据图形显而易见，题目的结论是成立，但是为了证明题目的结论，最好是用拉格朗日中值定理．

由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得
[3/2]f(
5
2)=[5/2]f(
3
2)，[1/2]f（ [3/2]）=[3/2]f（ [1/2]）
−
1
2f（ [1/2]）=[1/2]f（-[1/2]）
又∵f（ [1/2]）=f（-[1/2]）
∴f（ [1/2]）=0，f（ [3/2]）=0，f（ [5/2]）=0
∴[5/2]f（[7/2]）=[7/2]f（ [5/2]）
故f（[7/2]）=0
故选A

点评：
本题考点： 函数的值；偶函数．

考点点评： 本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．

若x≠0，则有f(x+1)＝
1+x
xf(x)，取x＝−
1
2，
则有：f(
1
2)＝f(−
1
2+1)＝
1−
1
2
−
1
2f(−
1
2)＝−f(−
1
2)＝−f(
1
2)
∵f（x）是偶函数，则f(−
1
2)＝f(
1
2)
由此得f(
1
2)＝0
于是，f(
5
2)＝f(
3
2+1)＝
1+
3
2

3
2f(
3
2)＝
5
3f(
3
2)＝
5
3f(
1
2+1)＝
5
3[
1+
1
2

1
2]f(
1
2)＝5f(
1
2)＝0
故选A．

点评：
本题考点： 函数的值；偶函数．

考点点评： 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．

（I）定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0；令x=y=-1，得f（-1）=0…6分
（Ⅱ）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），…9分
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），…12分
∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数…13分

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值．

考点点评： 本题考查函数的值与函数奇偶性的判断，着重考查赋值法的灵活运用，考查观察与分析问题、解决问题的能力，属于中档题．