an=3an-1+2^n,a1=3,求an的通项公式

（Ⅰ）数列{a_n}中，
∵a₁=1，当n≥2，n∈N^*时，a_n=3a_n-1-1，
a_n-[1/2]=3（a_n-1-[1/2]），a1−
1
2=[1/2]，
∴{an−
1
2}是首项为[1/2]，公比为3的等比数列，
∴an−
1
2＝
1
2•3n−1，
∴a_n=
3n−1 +1
2．…（3分）
∵数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2n²+2n-2，n∈N^*，
∴b₁=S₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n-2）-[2（n-1）²+2（n-1）-2]=4n，
∴b_n=

2，n＝1
4n，n≥2，n∈N*．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=
3n−1 +1
2，b_n=

2，n＝1
4n，n≥2，n∈N*，
∴c_n=（an−

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

（1）n=2 时，a₂=3a₁+3²-1．
n=3 时，a₃=3a₂+3³-1=95，
∴a₂=23
∴23=3a₁+8
a₁=5．…6分
（2）当n≥2 时
b_n-b_n-1=[1
3n(an+t)−
1
3n−1(an−1+t)＝
1
3n(an+t−3an−1-3t）
=
1
3n(3n−1−2t)＝1−
1+2t
3n
要使{b_n} 为等差数列，则必需使，∴t＝−
1/2] 即存在t=-[1/2]，使{b_n} 为等差数列．…13分

点评：
本题考点： 等差关系的确定．

考点点评： 判断或证明一个数列是等差数列或等比数列，常利用两个特殊数列的定义即相邻两项的差或比是常数．

（Ⅰ）∵a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3，
∴a₂=-3-4+3=-4，a₃=-12-6+3=-15
∵a_n=3a_n-1-2n+3，
∴a_n-n=3[a_n-1-（n-1）]
∴数列{a_n-n}是以-2为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n-n=（-2）•3^n-1
∴a_n=n-2•3^n-1
∴a₁+a₂+…+a_n=
n(1+n)
2-3ⁿ+1．

点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．

（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ得：

an
3n=
an−1
3n−1+1，
即：{
an
3n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴
an
3n=n+1，
∴a_n=（n+1）•3ⁿ（n∈N^*）
（2）∵b_n=n•3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，…①
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，…②
②-①得
2S_n=-（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+n×3ⁿ⁺¹=[2n−1/2]•3ⁿ⁺¹+[3/2]
∴S_n=[2n−1/4]•3ⁿ⁺¹+[3/4]

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查了构造法求数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，难度中等

由a_n=3a_n-1+2（n≥2），得：
a_n+1=3（a_n-1+1），
∵a₁+1=2+1=3≠0，
∴
an+1
an−1+1=3．
即数列{a_n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
∴an+1＝3•3n−1，
则an＝3n−1．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，对于an+1=pan+q型的递推式，一般要构造出等比数列求解，是中档题．

（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ得：

an
3n=
an−1
3n−1+1，
即：{
an
3n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴
an
3n=n+1，
∴a_n=（n+1）•3ⁿ（n∈N^*）
（2）∵b_n=n•3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，…①
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，…②
②-①得
2S_n=-（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+n×3ⁿ⁺¹=[2n−1/2]•3ⁿ⁺¹+[3/2]
∴S_n=[2n−1/4]•3ⁿ⁺¹+[3/4]

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查了构造法求数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前n项和，难度中等