1+cos2x=?答案是2cos^2 x.怎么算?

解题思路：（I）由已知中函数f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（[π/6]，[1/2]）．我们将（[π/6]，[1/2]）代入函数的解析式，结合φ的取值范围，我们易示出φ的值．
（II）由（1）的结论，我们可以求出y=f（x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值．

（I）∵函数f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ）（0＜φ＜π），
又因为其图象过点（[π/6]，[1/2]）．
∴[1/2＝
1
2sin(2×
π
6)sinϕ+cos2
π
6cosφ-
1
2sin(
π
2+φ)(0＜φ＜π)
解得：φ=
π
3]
（II）由（1）得φ=[π/3]，
∴f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ）
=[1/2sin(2x+
π
6)
∴g(x)＝
1
2sin(4x+
π
6)
∵x∈[0，
π
4]]
∴4x+[π/6]∈[
π
6，
7π
6]
∴当4x+[π/6]=[π/2]时，g（x）取最大值[1/2]；
当4x+[π/6]=[7π/6]时，g（x）取最小值-[1/4]．

点评：
本题考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．

考点点评： 本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．

y'=e^x-2sin2x
dy=(e^x-2sin2x)dx

f(x)=[sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)]+cos(2x)
=2sin{[(2x+π/6)+(2x-π/6)]/2}cos{[(2x+π/6)-(2x-π/6)]/2}+cos(2x)
=2sin(2x)cos(π/6)+2cos(2x)sin(π/6)
=2sin(2x+π/6)
式中振幅A=2,角频率ω=2,初相φ0=π/6,又sinx的最小正周期T0=2π,所以
f(x)的最小正周期T=T0/ω=(2π)/2=π

解题思路：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据周期公式求得最小正周期，根据正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．
（2）利用五点法作图．

（d）f（手）=[cosd手−d
2cos(
π/2+2手)]+cos²手-si2²手=
−2si222手
−2si22手+cos2手=si22手+cos2手=
2si2（2手+[π/d]），
∴T=[2π/2]=π，
由2kπ+[π/2]≤2手+[π/d]≤2kπ+[3π/2]，得kπ+[π/少]≤手≤kπ+[5π/少]，k∈Z，
∴函数的单调减区间为[kπ+[π/少]，kπ+[5π/少]]（k∈Z）．
（2）五点列表如少
手 -[π/少] [π/少] [3π/少] [5π/少] [7π/少]
y 0 d 0 -d 0

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查学生对三角函数基础知识的理解和应用．

1.你最后结果写错了.2+sin2x+cos2x=2+根号2（根号2/2*sin2x+根号2/2*cos2x)
=2+根号2（cosπ/4*sin2x+sinπ/4*cos2x)
=2+根号2*sin(2x+π/4)
2.用和差化积公式（在网上可以搜到）
sin(x+π/6)+sin(x-π/6)+cosx
=2sin【（x+π/6）/2+(x-π/6)/2】cos【（x+π/6）/2-(x-π/6)/2】+cosx
=2sinxcosπ/6+cosx

解题思路：先将三角函数整理为[1/2]cos（2x-φ），再将函数平移得到g（x）=[1/2]cos（2x+[π/6]-φ），由且g(

π

4

)＝

1

2

，即可得到φ的值．

∵f（x）=[1/2]sin 2xsinφ+cosφ（cos²x-[1/2]）
=[1/2]sin 2xsinφ+[1/2]cosφcos 2x
=[1/2]cos（2x-φ），
∴g（x）=[1/2]cos（2x+[π/6]-φ），
∵g（[π/4]）=[1/2]，∴2×[π/4]+[π/6]-φ=2kπ（k∈Z），
即φ=[2π/3]-2kπ（k∈Z），∵0＜φ＜π，
∴φ=[2π/3]．
故答案为：D

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查的知识点是三角恒等变换及函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．

解题思路：化简得f（x）=-2sin²x+|sinx|+1，再分sinx的正负进行讨论，结合二次函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小值．

①当x∈[−
π
6，0]时，f（x）=-sinx+cos2x=-2sin²x-sinx+1
令t=sinx，得f（x）=-2t²-t+1=-2（t+[1/4]）²+[9/8]
由二次函数的图象，可得当t=0或-[1/2]时，函数有最小值1
∴当sinx=0或-[1/2]时，函数f（x）的最小值是1；
②当x∈[0，
π
2]时，f（x）=sinx+cos2x=-2sin²x+sinx+1
类似①的计算，可得：当sinx=1时函数f（x）的最小值是0
综上所述，可得当x∈[−
π
6，
π
2]时，函数f（x）=|sinx|+cos2x的最小值是f（[π/2]）=0
故选：A

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题通过求含有绝对值的三角函数式的最小值，考查了三角函数的图象与性质和二次函数在闭区间上求最值等知识点，属于基础题．

解题思路：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，把点（[π/4]，[1/4]）代入求得φ．
（Ⅱ）根据题意得出g（x）的函数解析式，利用x的范围和三角函数的性质求得函数g（x）的最大和最小值．

（Ⅰ）f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（[π/2]+φ）
=[1/2]sin2xsinφ+[1/2]（1+cos2x）cosφ-[1/2]cosφ
=[1/2]sin2xsinφ+[1/2]cos2xcosφ
=[1/2]cos（2x-φ）
∵函数图象过点（[π/4]，[1/4]）．
∴[1/4]=[1/2]cos（[π/2]-φ），即cos（[π/2]-φ）=sinφ=[1/2]，
∵0＜φ＜[π/2]，
∴φ=[π/6]
（Ⅱ）由题意可知y=g（x）=f（[3/2]x）=[1/2]cos（3x-[π/6]），
∵x∈[0，[π/3]]
∴（3x-[π/6]）∈[-[π/6]，[5π/6]]，
∴-

3
2≤cos（3x-[π/6]）≤1
∴函数y=g（x）在区间[0，

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和三角函数图象与性质．解题关键就是要化繁为间，化难为易．

解题思路：（I）图象过点（π6，12），代入方程结合φ的范围，求φ的值；（Ⅱ）化简函数的表达式，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求出函数的解析式，利用正弦函数的单调减区间，求函数y=g（x）的周期与单调递减区间．

（1）由条件知
1
2=

3
4sinφ+
1
4cosφ=
1
2sin(φ+
π
6)
∴φ+
π
6=
π
2⇒φ=
π
3
（2）由（1）代入得

f(x)=
1
2sin2x

3
2+cos2x
1
2-
1
2cosφ
=
1
2sin2x

3
2+
1+cos2x
2
1
2-
1
4=
1
2sin(2x+
π
6)
∴函数g（x）=[1/2sin(4x+
π
6)
∴函数y=g（x）的周期为T=
π
2]
递减区间为[
π
12+
1
2kπ，
π
3+
1
2kπ]

(k∈Z)

点评：
本题考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题是中档题，考查三角函数的值的求法，考查三角函数的化简，函数的单调性，图象的平移变换，是常考题型，考查计算能力．

解题思路：根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．

由f(x)=|sinx|+cos2x，x∈[-
π
2，
π
2]，
当x∈[0，
π
2]时，0≤sinx≤1，
f（x）=sinx+cos2x=-2sin²x+sinx+1=-2(sinx-
1
4)2+
9
8．
此时当sinx=1时f（x）有最小值为-2(1-
1
4)2+
9
8=0；
当x∈[-
π
2，0)时，-1≤sinx＜0，
f（x）=-sinx+cos2x=-2sin²x-sinx+1=-2(sinx+
1
4)2+
9
8．
此时当sinx=-1时f（x）有最小值-2(-1+
1
4)2+
9
8=0．
综上，函数f（x）的最小值是0．
故选B．

点评：
本题考点： 正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．

解题思路：（1）把点代入已知的式子，由三角函数的运算可得Φ的值，进而可得对称轴；
（2）由图象的变换可得g（x）的解析，由x的范围，逐步求解可得值域．

（1）∵函数f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ），（0＜φ＜π），
又因其图象过点（[π/6]，[1/2]），
∴[1/2]=[1/2]sin（2×[π/6]）sinφ+cos²[π/6]cosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ），（0＜φ＜π）
解得Φ=[π/3]，∴f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ）=[1/2sin(2x+
π
6)
由2x+
π
6]=kπ+[π/2]可得x=[k/2π+
π
6]，k∈z，即对称轴为：x=[k/2π+
π
6]，k∈z
（2）由（1）得φ=[π/3]，
∴f（x）=[1/2]sin2xsinφ+cos²xcosφ-[1/2]sin（[π/2]+φ）=
1
2sin(2x+
π
6)
∴g（x）=
1
2sin(4x+
π
6)
∵x∈

点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．

考点点评： 本题为三角函数的综合运算，涉及三角函数的公式和对称问题以及值域，属中档题．

解题思路：先将三角函数整理为[1/2]cos（2x-φ），再将函数平移得到g（x）=[1/2]cos（2x+[π/6]-φ），由且g(

π

4

)＝

1

2

，即可得到φ的值．

∵f（x）=[1/2]sin 2xsinφ+cosφ（cos²x-[1/2]）−
1
2sin(
π
2+φ)
=[1/2]sin 2xsinφ+[1/2]cosφcos 2x
=[1/2]cos（2x-φ），
∴g（x）=[1/2]cos（2x+[π/6]-φ），
∵g（[π/4]）=[1/2]，∴2×[π/4]+[π/6]-φ=2kπ（k∈Z），
即φ=[2π/3]-2kπ（k∈Z），∵0＜φ＜π，
∴φ=[2π/3]．
故答案为：D

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查的知识点是三角恒等变换及函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．

（1）∵函数f(x)＝
1
2sin2xsinφ+cos2xcosφ−
1
2sin(
π
2+φ)(0＜φ＜π)，
∴f（x）=[1/2]sin2xsin∅+[1+cos2x/2•cos∅-
1
2]cos∅=[1/2]sin2xsin∅+[1/2]cos2xcos∅
=[1/2cos(2x−∅)，又函数的图象经过（
π
6]，[1/2]），∴[1/2]=[1/2] cos（[π/3]-∅），∴cos（[π/3]-∅）=1．
∵0＜∅＜π，∴∅=[π/3]，故最小正周期等于 [2π/2]=π．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=[1/2cos(2x−
π
3)，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2]，
纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，可知g(x)＝f(2x)＝
1
2cos(4x−
π
3)，
因为x∈[0，
π
4]，4x−
π
3∈[−
π
3，
2π
3]，故−
1
2≤cos(4x−
π
3)≤1．
所以y=g（x）在[0，
π
4]上的最大值和最小值分别为[1/2]和−
1
4．

4√3 sinxcosx=(1 +cos2x)/2+2√3sin2x
2√3 sin2x=(1 +cos2x)/2+2√3sin2x
即 (1 +cos2x)/2=0
cos2x=-1
2x=π+2kπ
x=kπ+π/2

解题思路：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过函数经过的特殊点，求φ的值；
（2）利用函数y=f（x）图象上各点向左平移[π/6]个单位长度，得到函数y=g（x）表达式，然后通过正弦函数的单调增区间求函数g（x）在[-[π/4]，[2π/3]]上的单调递增区间．

（1）函数f（x）=sinxcosxsinφ+cos²xcosφ+[1/2]cos（π+φ）
=[1/2sin2xsinφ+
1+cos2x
2cosφ−
1
2cosφ
=
1
2sin2xsinφ+
1
2cos2xcosφ
=
1
2cos(2x−φ)．
又函数图象过点（
π
3]，[1/4]）．
所以[1/4＝
1
2cos(2×
π
3−φ)，
又0＜φ＜π，所以φ=
π
3]---------（6分）
（2）由（1）知f（x）=[1/2cos(2x−
π
3)，将函数y=f（x）图象上各点向左平移
π
6]个单位长度后，
得到函数y=g（x）的图象，可知g（x）=[1/2cos2x------------（8分）
因为x∈[−
π
4，
2π
3]，所以2x∈[−
π
2，
4π
3]，
由−
π
2≤2x≤0和π≤x≤
4π
3]
知函数g（x）在[−
π
4，
2π
3]上的单调递增区间为[−
π
4，0]和[
π
2，
2π
3]--------（12分）

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，函数极限的求法，考查计算能力．