求y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最值和相应X的值

lgz_qq2022-10-04 11:39:541条回答

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5626555643 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%: y=sinx+cosx+2sinxcosx+2=sinx+cosx+2sinxcosx+(sinx)^2+(cosx)^2+1=(sinx+cosx)^2+sinx+cosx+1
t=sinx+cosx＝根号2sin(x+pi/4),y=t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4,t=-1/2时有最小值3/4,此时x=-pi/4+arcsin(-根号2/4)+2kpi或-5pi/4-arcsin(-根号2/4)+2kpi
t=根号2时有最大值3+根号2,此时x=pi/4+2kpi; 1年前

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设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t²-1…（2分）
其中t＝sinx+cosx＝
2sin(x+
π
4)∈[−
2，
2]…（4分）
所以函数化为y＝t2+t+1＝(t+
1
2)2+
3
4，t∈[−
2，
2]…（6分）
所以，当t=-[1/2]时，ymin＝
3
4．当t＝
2时，ymax＝3+
2…（10分）

点评：
本题考点：正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值；同角三角函数间的基本关系．

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y=sinx+cosx+2sinxcosx+2
=sinx+cosx+2sinxcosx+1+(sinx)^2+(cosx)^2
=(sinx+cosx)^2+sinx+cosx+1
=(sinx+cosx+0.5)^2+0.75
sin+cosx=（根号2）*sin(x+π/4)
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2，
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1
2)2+
3
4，t∈[−
2，
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3
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2时，ymax＝3+
2…（10分）

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1.y=(sinx+cosx)+(sinx+cosx)^2+1
然后你知道了吧.
2.cos4A=(cos2A)^2-(sin2A)^2
1-cos4A=2[sin(2A)]^2
同理
1-cos4B=2[sin(2B)]^2
所以：
（1-cos4A）（1-cos4B）
=4[sin2A*sin2B]^2
=4[4sinAcosA*4sinBcosB]^2
剩下的把题目条件带入咯

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(1)let sinx+cosx=t t∈[-√2,√2]
so 2sinxcosx=t^2-1
so y=t^2+t+1 t∈[-√2,√2]
so Ymax=3+√2 Ymin=3/4 (此处是二次函数求最值,应该不用多写了吧? 最小值在对称轴处取得）
(2)x∈[0,π/2] t∈[1,√2]
此时对称轴取不到,所以
Ymin=Y（1）=3,Ymax仍是 3+√2

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