在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3

由σ的定义得
σ(ε1)=σ((1,0,0)^T)=(2,1,1)^T=2ε1+ε2+ε3
σ(ε2)=σ((0,1,0)^T)=(1,2,1)^T=ε1+2ε2+ε3
σ(ε3)=σ((0,0,1)^T)=(1,1,2)^T=ε1+ε2+2ε3
σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)A
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2.
由于A^T=A,所以σ在一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵
所以σ是对称变换.(定理)
|A-λE| = (4-λ)(1-λ)^2
所以 A 的特征值为 4,1,1.
(A-4E)X=0 的基础解系为 a1=(1,1,1)^T.
属于特征值4的全部特征向量为 k1a1,k1≠0.
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T.
属于特征值1的全部特征向量为 k2a2+k3a3,k2,k3不全为0.
将a1,a2,a3单位化得R^3的标准正交基
b1=(1/√3)(1,1,1)^T
b2=(1/√2)(1,-1,0)^T
b3=(1/√6)(1,1,-2)^T
且 P=(b1,b2,b3)是正交矩阵,满足 P^-1AP = diag(4,1,1)
由 (b1,b2,b3)=(ε1,ε2,ε3)P 得
σ(b1,b2,b3)=σ(ε1,ε2,ε3)P
= (ε1,ε2,ε3)AP
= (b1,b2,b3)P^-1AP
= (b1,b2,b3)diag(4,1,1).
故 σ在R^3的标准正交基b1,b2,b3下的矩阵是对角矩阵diag(4,1,1).