设z=f（exsiny，x2+y2），其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z∂x∂y．

解题思路：由于z=f（u），u又是关于x、y的函数，因此[∂z/∂x]和[∂z/∂y]可以求出来，

∂2z

∂x2

和

∂2z

∂y2

也可以求出来，又满足方程

∂2z

∂x2

+

∂2z

∂y2

＝e2xz，就会得到关于f''（u）的微分方程，解此微分方程即可．

设u=e^xsiny，则z=f（u）
∴zx＝f′(u)exsiny，zy＝f′(u)excosy
∴zxx＝f″(u)(exsiny)2+f′(u)exsiny
zyy＝f″(u)(excosy)2−f′(u)exsiny
代入方程
∂2z
∂x2+
∂2z
∂y2＝e2xz，得：
f″（u）（e^xsiny）²+f′（u）e^xsiny+f″（u）（e^xcosy）²-f'（u）e^xsiny=e^2xf（u）
即：
f″（u）=f（u）
这是二阶常系数齐次线性微分方程
其特征方程为：r²-1=0
解得两个特征根：r₁=1，r₂=-1
∴f(u)＝C1ex+C2e−x（其中C₁，C₂为任意常数）

点评：
本题考点： 二阶偏导的计算．

考点点评： 此题是二阶偏导数和二阶常系数齐次线性微分方程的综合，都是基础知识点，要熟练掌握

解题思路：首先，由方程z=f（e^xsiny）求出z对x和y的一阶偏导数，而后求出二阶偏导数之和，再和已知的

∂2z

∂x2

+

∂2z

∂y2

=e^2xz比较，求得z=f（u）的表达式．

设u=e^xsiny，则
[∂z/∂x＝f′(u)exsiny，
∂z
∂y＝f′(u)excosy
∴
∂z
∂x2＝f″(u)(exsiny)2+f′(u)exsiny，

∂2z
∂y2＝f″(u)(excosy)2−f′(u)exsiny
∴
∂2z
∂x2]+
∂2z
∂y2＝e2xf″(u)
又已知
∂2z
∂x2+
∂2z
∂y2＝e2xz＝e2xf(u)
∴f″（u）=f（u）
解得：
f(u)＝C1e−x+C2ex，其中C₁、C₂为常数．

点评：
本题考点： 二阶偏导的计算．

考点点评： 此题考查了复合函数二阶偏导数的计算以及二阶常系数线性微分方程的解法，是基础知识点的综合．

解题思路：此题考查没有具体表达式的多元复合函数求导法则的使用．

∵z=f（e^xsiny，x²+y²），
∴[∂z/∂x＝f′1•[exsiny]x+f′2•[x2+y2]x=e^xsinyf′₁+2xf′₂，
进一步得：
∂2z
∂x∂y＝
∂
∂y(
∂z
∂x)=[e^xsinyf'₁]_y+[2xf′₂]_y
=ex[cosyf′1+siny•
∂f′1
∂y]+2x
∂f′2
∂y]
=excosyf′1+exsiny•[f″11•excosy+f″12•2y]+2x[f″21•excosy+f″22•2y]
=e2xsinycosyf″11+2ex(ysiny+xcosy)f″12+4xyf″22+excosyf′1，

点评：
本题考点： 二阶偏导的计算．

考点点评： 偏导数的求解过程中，为了书写的简单，经常会用f′1表示函数f对第一个变量求偏导，f″12表示函数f对第一个变量求偏导再对第二变量求偏导．

解题思路：此题考查没有具体表达式的多元复合函数求导法则的使用．

∵z=f（e^xsiny，x²+y²），
∴[∂z/∂x＝f′1•[exsiny]x+f′2•[x2+y2]x=e^xsinyf′₁+2xf′₂，
进一步得：
∂2z
∂x∂y＝
∂
∂y(
∂z
∂x)=[e^xsinyf'₁]_y+[2xf′₂]_y
=ex[cosyf′1+siny•
∂f′1
∂y]+2x
∂f′2
∂y]
=excosyf′1+exsiny•[f″11•excosy+f″12•2y]+2x[f″21•excosy+f″22•2y]
=e2xsinycosyf″11+2ex(ysiny+xcosy)f″12+4xyf″22+excosyf′1，

点评：
本题考点： 二阶偏导的计算．

考点点评： 偏导数的求解过程中，为了书写的简单，经常会用f′1表示函数f对第一个变量求偏导，f″12表示函数f对第一个变量求偏导再对第二变量求偏导．

估计是求f(z)的解析式吧,由于函数解析,满足柯西黎曼方程,所以u'x=v'y=e^x*cosy,
,积分得u=e^x*cosy+g(y),再对x求偏导得u'y=-v'x=-e^x*siny+g'(y)=-e^x*siny,g'(y)=0,所以
g(y)=c,由于f(0)=1+g(0)=2得c=1,所以u=e^x*cosy+1,f(z)=u=e^x*cosy+1+ie^x*siny