平面向量基本定理和共面向量基本定理说的像是一回事啊

平面向量基本定理告诉我们：平面上的任一向量可以由这个平面内任意两个不共线的向量表示.也就是说,平面上的任意两个不共线的向量都可以表示这个平面的任意向量.

不是任意函数,而是任意向量.其他你理解的对

没必要绞尽脑汁地去想那些不能建立坐标系的情况,你只要记住哪些是能够运用坐标的方法即可.
既然能够建立坐标,无疑问就是能够找到三条互相垂直的线做为x,y,z轴建系,如果找不到,或者辅助线也未能找到,那你还谈何运用坐标系的方法.不过,凭我的记忆,坐标系方法比较万能,适用范围广,但这并不意味着省时高效,因为难免你要找出相关点的坐标值,还是比较麻烦,但肯定能做.

平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一一对有序实数(x 、y) ,使 a= xe1＋ ye2.
用反证法证明：
假设存在 另一对实数 m,n 满足 me1+ye2=a
又 xe1+ye2=a
me1+ye2=xe1+ye2
(m-x)e1=(y-n)e2
因为e1,e2不共线
所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n
与假设矛盾
所以得证
推广：已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R,满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC.
证明：（充分性）
∵x+y+z=1
∴ z=1-x-y
又∵OP=xOA+yOB+zOC
∴ OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
∴ CP=xCA+yCB
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴ 根据平面向量的基本定理可知,点P位于平面ABC内
∴ 充分性成立
（必要性）
∵点P位于平面ABC内
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴ 根据平面向量的基本定理可知,存在实数x,y使得
CP=xCA+yCB
∴ OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC
令z=1-x-y
则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC
即,存在实数x、y、z满足x+y+z=1,使得OP=xOA+yOB+zOC
∴ 必要性成立

向量OP=ON+NP
= ON +mNB(因为向量NP与向量NB共线,所以存在唯一实数m,使得NP =mNB)
=3a/4+m(OB-ON)
=3a/4+m(b-3a/4)
=(3/4-3m/4)a+mb.
另一方面,
因为向量OP与向量OM共线,所以存在唯一实数n,使得OP =nOM,
向量OP =nOM
=n(OA+AM)
= n(OA+2AB/3)
= n(OA+2/3(OB-OA))
= n(1/3OA+2/3OB)
=n/3a+2n/3b.
综上可知：向量OP=(3/4-3m/4)a+mb=n/3a+2n/3b.
所以3/4-3m/4=n/3,m=2n/3,
解得m=3/5,n=9/10.
∴向量OP= n/3a+2n/3b=3/10a+3/5b.

平面向量基本定理主要是选择好两个非零基底,用向量加法、减法的法则表示所求的向量.学习这部分内容要改变看待问题的方式,数形结合结合定义来理解.

帮不了你的忙

你需要正确的学习方法

这个题目的叙述是错误的.从来没有听说有这个说法.如令a=2*e1,此时λ=2,u=0,λ+u=2.
倒是有一个定理：点M与直线AB共线的充分必要条件是,对于取定的任意一点O有:OM=λ*OA+u*OB,其中λ+u=1

向量AE = 1/4向量AC = b/4
向量BC= 向量BA+向量AC= -a +b
向量DE = 向量DA+向量AE =1/4 向量BC = (-a +b)/4
向量EC = 向量AC - 向量AE = 3b/4
向量DN = 1/2 向量DE = (-a +b)/8
向量AN =向量AD+向量DN = a/4 + (-a +b)/8 = (a +b)/8

因为如果两个基底都共线了!那那两个基底所表示的直线就只能在基底所在直线上!而不能表示整个平面内的任何一条直线了!

简单地说,对的

证明出三点中任意两点都共线,则论题成立.

思路：
1
向量相等代表方向和模均相等,所以得到AD‖=BC
从而推出四边形为平行四边形.
2
与上一问类似,只是两向量模不等,但可推出平行,且另一组对边不平行
所以是梯形.
3
在第一问的基础上由后一个条件得到“邻边相等”
所以是菱形.
看到需要判断四边形形状,就自然想到将向量的关系转化为四边形边之间的关系,从而作出正确判断.

证明很简单,
方法1：利用向量的几何意义,把待“任意向量”用平行四边形法则分解到两个基向量方向上,它在基向量上的投影的长度除以相应基向量长度,就是对应的系数
方法2：设系数为m,n,则根据me1 + n e2 = x带入坐标值展开可以得到一个二元一次方程组.很容易证明方程的系数矩阵是可逆的,因此方程必然有唯一解
应用么,在向量证明过程中,你可以根据e1,e2不共线,直接写出x=me1+ne2,往往可以利用它直接证明很多东西,但是具体怎么用,只有你自己体会了