在△ABC中,D为BC上点,且BD=1/2DC,E为AD上点,且AE=2ED,若向量AB=向量e1,向量AC=向量e2,

∵∠ADB=120°
∴∠ADC=60°
∵AD=2,S△ADC=1/2·AD·DC·sin∠ADC=3-√3
∴DC=2S△ADC/AD·sin∠ADC=2√3-2
∵BD=DC/2
∴BD=√3-1
由余弦定理
AB=√(AD²+BD²-2AD·BD·cos∠ADB)=√6
由正弦定理
sin∠ADB/AB=sin∠ABC/AD
∴sin∠ABC=AD·sin∠ADB/AB=√2/2
∴∠ABC=45°

过A点做AE⊥BC,垂足为E
不妨设BD=a,则DC=2BD=2a
在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠ADE=180°-∠ADB=60°,AD=2
则可得 DE=1 ,AE=3-根号
则S△ADB=1/2*AE*DC=3-根号 *a=3-根号
解得 a=1
又DE=1,可知 BD=DE=EC=1
可算得 BC=3,AC=2,AB=根号7
cos∠BAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC
代入解得 cos∠BAC=（根号7）/14
∴ ∠BAC=arc cos （根号7）/14
（抱歉,根号打不出来,只能这样了）

60度.
由△ADC的面积为3-
3
可得
S△ADC=
1
2
•AD•DC•sin60°=
3
2
DC=3-
3
S△ABC=
3
2
(3-
3
)=
1
2
AB•AC•sin∠BAC
解得DC=2
3
-2,则BD=
3
-1,BC=3
3
-3．
AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos120°=4+(
3
-1)2+2(
3
-1)=6,AB=
6
AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos60°=4+4(
3
-1)2-4(
3
-1)=24-12
3
AC=
6
(
3
-1)
则cos∠BAC=
BA2+AC2-BC2
2AB•AC
=
6+24-12
3-9(4-2
3)
2
6•
6(
3-1)
=
63-6
12(3-1)
=
1
2
．
故∠BAC=60°．

分析：如果△ABD∽△BHD,则∠DBH=∠DAB ,要证△ABD∽△BHD,只要证明到BD^2=AD*DH就行了.所以,如何证明BD^2=AD*DH,是解题的关键.
证明：过点A作AE垂直BC于点E.
在三角形ABC中,AB=AC.
所以,BE=EC=1/2BC.
CH垂直AD于H,
所以,△AED∽△CHD
所以,AH*DH=DE*DC
因为BE=EC=1/2BC；BD=1/2DC
所以DE*DC=1/2BD*2BD=BD^2
所以AH*DH=BD^2
即AH/BD=BD/DH
∠BDH=∠BDH
所以△ABD∽△BHD
所以 ∠DBH=∠DAB

△ADC的面积=1/2AD*DCsin60°=3- √3 解得DC=2(√3-1)∴BD=√3-1
在△ADC中解得∠ADC=45°在⊿ABD中解得∠BAD=15°∴∠BAC=60°

角度不是我懒不算,而是β的部分好像不是整数,我没有计算器不好算

三角形ABC的面积为1,BD＝1/2DC,
所以三角形ACD的面积为2/3
又因为AF＝1/2FD,
所以三角形CDF的面积为4/9
又CE＝1/2EF
所以三角形DEF的面积为8/27

知识点：三角形的高相等,那么面积比值就是底边的比值.
∵DC:BC=2:3 ∴以BD为底边,ΔADC=2/3ΔABC=2/3；
∵DF:AD=2:3 ∴以AD为底边,ΔCDF=2/3ΔCDA=2/3*2/3=4/9；
∵CE=EF ∴以CF为底边,ΔDFE=1/2ΔDFC=4/9*1/2=2/9.
∴ΔDEF的面积为2/9.

S△ABD:S△ADC=BD:DC=1:2,△ABD=(3-√3)/2,
作CG⊥AD,交AD于G.
AD*CG/2=3-√3,CG=3-√3,
因∠CDA=180°-∠ADB=60°,所以∠DCG=30°,所以DG=DC/2,DC=2DG,
DC²-DG²=CG²,即（2DG）²-DG²=(3-√3)²=12-6√3,DG=√3-1,所以AG=AD-DG,
AG=2-(√3-1)=3-√3,tg∠DAC=CG/AG=(3-√3)/(3-√3)=1,
所以∠DAC=45°（∠DAC=∠ADB-∠DCG=120°-∠DCG＜135°）,
同理作BE⊥AD交AD延长线于E.∠BDE=∠CDA=60°,∠DBE=30°,DE=BD/2,BD=2DE
又S△ABD=AD*BE/2,BE=[2*(3-√3)/2]/2=(3-√3)/2
BD²-DE²=BE²,[(3-√3)/2]²=(2DE)²-DE²,DE=(√3-1)/2
可求tg∠BAD=BE/(AD+DE)=[(3-√3)/2]/[2+(√3-1)/2]
=[(3-√3)/2]/[(3+√3)/2]=(3-√3)/(3+√3)=2-√3＝0.268,
查正切函数表可知∠BAD度数约为15°,∠BAC=∠DAC+∠BAD=15°+45°=60°.

AE=3/4AD
=3/4(AB+BD)
=3/4(AB+1/3BC)
=3/4(AB+1/3(AC-AB))
=3/4(2/3AB+1/3AC)
=1/2AB+1/4AC
=1/2a+1/4

∠ABC=120°如题,哈哈,写错了吧

由余弦定理
AC=√(AD^2+CD^2-2AD·CD·cos∠ADC)=3√2-√6
∵S△ADC=3-√3,BD=DC/2
∴S△ABC=3/2·S△ADC=(9-3√3)/2
∵S△ABC=1/2·AB·AC·sin∠BAC
∴sin∠BAC=2S△ABC/AB·AC=√3/2
∴∠BAC=60°
或者求得DC=2√3-2,BC=3√3-3,AC=3√2-√6 后
∵AC^2=(3√2-√6)^2=6(√3-1)^2
BC·DC=(3√3-3)(2√3-2)=6(√3-1)^2
∴AC^2=BC·DC
∴AC/BC=DC/AC
∴△ABC∽△DAC
∴∠BAC=∠ADC=60°