欧氏几何:长方形面积公式是定理还是公设?

不是这样的,欧式几何和两种非欧式几何（罗氏几何、黎曼几何）是不相矛盾的,也就是说可以相互转化.
罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗巴切夫斯基几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义.
　欧氏几何:
同一直线的垂线和斜线相交.
垂直于同一直线的两条直线平行.
存在相似而不全等的多边形.
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆.
罗巴切夫斯基几何:
同一直线的垂线和斜线不一定相交.
垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷.
不存在相似而不全等的多边形.
过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆.
详细参考百科.

用梅涅劳斯证明：（见空间）

罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何中“一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离”这一几何平行公理用“从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同.由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题.
我们知道,罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗巴切夫斯基几何中都不成立
罗巴切夫斯基几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受.但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的.
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现.这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾.
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例.例如：定义度量（a是常数）,则当a＝0时是普通的欧几里得几何,当a＞0时 ,就是椭圆几何 ,而当a＜0时为双曲几何.
在数学界,欧氏几何仍占主流；而物理界,则用的是黎曼几何.因为据黎曼几何,光线按曲线运动；而欧氏几何中,光线按直线运动

公理1、任两点必可用直线相连.（直线公理）
公理2、直线可以任意延长.
公理3、可以以任意一点为圆心,任意长度为半径画圆.（圆公理）
公理4、所有直角都相同.（角公理）
公里5、过线外一点,恰有一条直线与已知直线平行.（平行公理）

严格说原本的五大公理并不能推断出欧式几何所有结论.欧几里得本人加入了很多假设进去.可以参看希尔伯特的《几何基础》,后者是现代几何公理化的典范.
5条公理和5维没有关系.欧几里得原本只限讨论立体几何,所以只是3维欧式空间.
4维空间一般理解为3个方向轴和1条时间轴,也有超立方体之说.

都是神仙!

你所问的是有关公理体系的问题.
所谓公理体系是指某一个学科的基本假设,比如,欧氏几何的公理体系就是它的5个基本公设,其中的第5公设——也就是平行公设——在非平面几何中存在矛盾,但欧几里德本人似乎也意识到该公设的不完备性,就连自己证明定理时也都尽量避免使用它.
在某一学科的公理体系中,公理都是不证自明,不需要规范,不需要制定的.体系内部的各公理之间不存在可以互相证明或证伪的关系,它们对整个学科形成都是充分且必要的.在公理的基础上制定的命题称为定理.
当然,对于某个形式系统而言,公理体系也并非完备的,在这个系统中总是存在着既不能被证明也不能被证伪的不可判定命题.如果将这个不可判定的陈述作为一条公理添加到系统中,则新的系统仍然存在着它自己的不可判定陈述.这就是哥德尔不完备性定理的全部内容.
P.S. 如果你对数学研究感兴趣,推荐你看哥德尔早期的著作.逻辑是做一切科学研究的基础.

似乎公理都是不需证明的,定理才要证明吧
补充：
公理
（1）经过人类长期反复的实践检验是真实的,不
需要由其他判断加以证明的命题和原理.如传统形
式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么,
那么这类事物中的部分也是什么或不是什么,也即如果
对一类事物的全部有所断定,那么对它的部分也就有所
断定,便是公理.又如日常生活中人们所使用的“有生必
有死”,也属于这种不证自明的判断.
（2）某个演绎系统的
初始命题.这样的命题在该系统内是不需要其他命题加
以证明的,并且它们是推出该系统内其他命题的基本命
题.

BC