格林公式计算曲面积分.

图上的这个解法的思想是对的,但是步骤有误,L的反向与l合起来是整个区域的正向边界曲线,由格林公式,积分是0,所以L上的积分与l上的积分相等,最后结果应该是8/3.
（也可以判断出这个曲线积分与路径无关,选择积分路径是x轴上的有向直线段OA,结果是8/3）

∫∫dxdy表示的是区域D的面积,而这里区域D是一个椭圆,这里用的是椭圆的面积计算公式.
椭圆的计算公式是S=πab,这里a=√3,b=√6,

这个问题是这样的：
首先明白一个概念：什么是区域边界是正向的,就是你站在曲线上走时,向左才能看到区域,你么你走的是正向.反之是负向的.
你补了一个曲线小圆l,它与外围大曲线L联合形成一个区域（即你图中绿部分D1）的边界,这个区域有两个边界曲线,L和了,那么这个边界的正向是：L逆时针,l顺时针.但单独看小圆l,它围成的区域是它的内部园,它的正向是逆时针,所以小圆的正向与负向是相对不同区域而言的,
你这个问题搞不清楚,我建议你这样看：你不要用曲线的正负,用顺时针与逆时针.你把第一个问号改成（L逆+l顺）,那么第二个问号是(l顺),第三个问号是(l顺),那后面的积分就是(l逆),这不就是化成同方向的小圆上的积分了吗.
你仔细体会下：核心点就是区域不一样,方向不一样.小圆如看成外面的边界与看成内部区域的边界它的正向是不一样的.

I = ∮x^2ydx+y^2xdy =∫∫(y^2-x^2)dxdy =∫dt∫r^2[(sint)^2-(cost)^2]rdr=∫(-cos2t)dt[r^4/4] =∫4(cost)^4(-cos2t)dt= -2∫(1+cos2t)^2(cos2t)dt= -2∫[cos2t+2(cos2t)^2+(cos2t)^3]dt= -2∫(cos2t+1+cos4t)dt ...