某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等级.若考核为合格,授

FOXMAIL6832022-10-04 11:39:541条回答

某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等级.若考核为合格,授予10分降分资格;考核为优秀, 授予20分降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 ,他们考核所得的等级相互独立.
(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.

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chengshuang13598 共回答了13个问题 | 采纳率100%

(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件,事件 与事件E是对立事件,于是
P(E)=1-P( )=1-(1- )(1- )(1- )= .
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ=30)=P( )=(1- )(1- )(1- )=
P(ξ=40)=P(A )+P( B )+P( C)=
P(ξ=50)=P(AB )+P(A C)+P( BC)=
P(ξ=60)=P(ABC)= .
所以ξ的分布列为

ξ
30
40
50
60

P





∴E(ξ)=30× +40× +50× +60× .
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解题思路:(Ⅰ)“a=b”意即“a=b=0”或“a=b=1”,且二者互斥,由此能求出a=b的概率.
(Ⅱ)由题意知ξ=0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.

(Ⅰ)“a=b”意即“a=b=0”或“a=b=1”,且二者互斥,
∴a=b的概率P(a=b)=[2/3
C03(
1
2)0(
1
2)3+
1
3
C13(
1
2)(
1
2)2=
5
24].
(Ⅱ)由题意知ξ=0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=[2/3
C33(
1
2)3=
1
12],
P(ξ=1)=[1/3
C03(
1
2)3+
2
3
C13(
1
2)(
1
2)2=
7
24],
P(ξ=2)=[1/3]
C13(
1
2)(
1
2)2+
2
3
C23(
1
2)2(
1
2)=[3/8],
P(ξ=3)=
1
3
C23(
1
2)2(
1
2)+
2
3
C33(

点评:
本题考点: 离散型随机变量的期望与方差.

考点点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.

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