被3除余2,被5除余4,被7除余6,被9除余8,被11整除,这个数最小是多少?

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
设偶数位和或奇数位和为x，
则x+x+11=45，
2x+11-11=45-11，
2x÷2=34÷2，
x=17，
因为这个数最小的排列方式（先不考虑被11整除）为123456789，
其中奇数位和1+3+5+7+9=25大于17，
所以奇数位和是28，偶数位和是17，
因为123456789中奇数位和比28小3，
要求最小的九位数，就把越大的数越靠后，
所以把后六位数每两位调换，变成123475869．
故答案为：123475869．

点评：
本题考点： 找一个数的倍数的方法．

考点点评： 能被11整除数的特点是：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．

因为以30124开头才能保证尽可能小，剩余一位数需从5、6、7、8、9中找，
所以六位数有301245、301246、301247、301248、301249，又保证六位数能被11整除，
通过验证只有301246能被11整除．
故答案为：301246．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查找寻符合条件的数，要符合每一个条件才可以，找出以后，再去验证，进一步确定答案的正确性．

由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，但这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个．
假设奇位与偶位上的数字之和分别为a、b，则有：a+b=45，
可知a、b必定为一奇一偶，a、b二者中最小为1+2+3+4=10，那么a、b只有一种可能28、17，
要使组成的九位数最大，9、8、7、6、5应尽量排在前面，4、3、2、1尽量排在后面，换言之，也就是使前3个奇数位上数字尽量为9、7、5，偶位上的前两个数字尽量为8、6，再看下二者各自能否相加组合得到28和17，
（1）奇数位上的：28-（9+7+5）=7，7要拆成两个数之和，只能拆成3+4；
（2）偶数位上的：17-（8+6）=3，只能拆成1+2；
所以该九位数前五个是：98765****，后四个要最大，只能是2413．
综上得：最大的九位数为987652413．

点评：
本题考点： 数的整除性．

考点点评： 本题主要考查数的整除性问题，难度较大，需要很强的逻辑思维能力，解答本题时要充分利用讨论试探的方法，对于此类题目往往不能一步到位，而需要慢慢试探着进行．

3×5×7×11=1155，
99999÷1155≈86.6，
86×1155=99330，数字重复，不符合要求；
85×1155=98175，因此，x=85时结果为98175，符合题意．
答：这样的数中最大的是98175．

点评：
本题考点： 数的整除特征；最大与最小．

考点点评： 此题运用了“试一试”的方法，探寻问题的答案．

设原两位数的十位数字为b，个位数字为a，则原两位数为10b+a，交换后的两位数为10a+b．
∵10b+a+（10a+b）
=10b+a+10a+b
=11b+11a
=11（b+a）．
∴11（b+a）能被11整除．

点评：
本题考点： 整式的加减．

考点点评： 本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．

没有重复数字的最大八位数是98765432，
能被11整除的最大八位数是：98765432-7=98765425，
能被11整除的没有重复数字的最大八位数是：98765425-11-11=98765403；
故答案为：98765403．

点评：
本题考点： 整除的性质及应用．

考点点评： 解答此题关键是先确定出出没有重复数字的最大八位数，进而确定能被11整除的没有重复数字的最大八位数．

设这个数为a1997b．
由能被9整除，推知a+b=1或10；
由能被11整除，推知a-b=6或b-a=6．
综上求得a=2，b=8．
所以这个数为：219978．
故答案为：219978．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 完成本题要在充分了解能被9和11整除数的特征的基础上进行．

设这个能被11整除的四位数中最大的一个是abcd，
∴a+b+c+d=34，
∵b+d-（a+c）最小时此四位数最大，即b+d=a+c=17，
故a=b=9，c=d=8时此四位数最大，最大的数为9988，
由于17只能分成两位数时9最大，
∴最小的数为：8899．
故答案为：9988、8899．

点评：
本题考点： 数的整除性．

考点点评： 本题考查的是数的整除性，解答此题的关键是熟知能被11整除的数的特点，即把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数，那么原来这个数一定能被11整除．

因为以30124开头才能保证尽可能小，剩余一位数需从5、6、7、8、9中找，
所以六位数有301245、301246、301247、301248、301249，又保证六位数能被11整除，
通过验证只有301246能被11整除．
故答案为：301246．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题考查找寻符合条件的数，要符合每一个条件才可以，找出以后，再去验证，进一步确定答案的正确性．

这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数，那么这个数能被11整除；
偶数位上数字和是5+7=12，因而，奇数位上数字和2+□+9应等于12，□内应填12-2-9=1．
故答案为：1．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 解答此题应根据能被11整除的数的特征进行分析解答即可．