dx/√[(x-a)(x-b)]

∫dx/[x^3(ax^2+b)]=-0.5∫1/(ax^2+b)d(x^-2)
令x^-2=t
则原式=-0.5∫t/（a+bt）dt=-0.5∫（1/b-a/（ab+b^2×t））dt
于是积分可得原式=-t/2b+（a/b^2）×ln（ab+b^2×t）+c
=-1/(2bx^2)+a/(2b^2）×ln（a+b/x^2）+c

-ln((x-1)/x) - 1/x+c

∫dx/[(x+a)^2-b^2]=(1/2b)∫dx[1/(x+a-b)-1/(x+a+b)]
=(1/2b){∫d(x+a-b)[1/(x+a-b)]-∫d(x+a+b)[1/(x+a+b)]}
=(1/2b)[ln(x+a-b)-ln(x+a+b)]
=(1/2b)ln[(x+a-b)/(x+a+b)]

∫ dx/(sin²xcos²x)
= ∫ dx/(sinxcosx)²
= ∫ dx/(1/2 * sin2x)²
= ∫ dx/[(1/4)sin²2x]
= 4∫ csc²2x dx
= 4(1/2)∫ csc²2x d(2x)
= 2(-cot2x) + C
= -2cot2x + C

换元法.
设x=(2sint)/3,t=arcsin(1.5x),dx=d(2sint)/3=2costdt/3
√(4-9x²) =2|cost|
∫dx/√(4-9x²)
=(1/3)∫costdt/|cost|
cost≥0时,上式＝(1/3)∫dt＝t/3＝arcsin(1.5x)/3
cost

①先解第一个微分方程,求出y
y''+y=-cost
齐次特征方程：r^2+1=0
特征根：r1,2=±i
Y=C1cost+C2sint
设非齐特解为：y*=t(Acost+Bsint)
则 y*''+y*=-2Asint+2Bcost=-cost
解得 A=0,B=-1/2
∴y*=-1/2*tsint
∴y的通解为 y=C1cost+C2sint-1/2*tsint
②再将y带入第二个微分方程,求出x
y=dx/dt-cost=x'-cost
x'=y+cost=(C1+1)cost+C2sint-1/2*tsint
这是一个关于t的一阶方程,直接积分可得
x=(C1+1)sint-C2cost+1/2*tcost-1/2*sint+C3
=C1sint-C2cost+1/2*tcost+1/2*sint+C3
（我的常数和你的常数稍有不同,我的C1等于你的C2-1/2
我的C2等于你的-C1,代换之后可得到与你相同的结果.
唯一不同的是你的常数1应换为我的常数C3才对.
没有初始条件,这几个常数是无法确定下来的.）

令a=√(2x-1)+1
x=(a²-2a+2)/2
所以dx=(a-1)da
所以原式=∫(a-1)da/a
=∫(1-1/a(da
=a-ln|a|+C'
=√(2x-1)+1-ln[√(2x-1)+1]+C'
=√(2x-1)-ln[√(2x-1)+1]+C

∫ 1/√(x² + 4x + 5) dx
= ∫ 1/√[(x + 2)² + 1] dx
= ln|x + 2 + √[(x + 2)² + 1]| + C
公式∫ du/√(u² ± a²) = ln|u + √(u² ± a²)| + C,这里的u = x + 2,a = 1

∫ dx/√(x^2+a^2) 令 x = a tant,dx = a(sect)^2 dt,√(x^2+a^2) = a sect
= ∫ sect dt
= ln(sect + tant| + C1
= ln(x+√(x^2+a^2)) + C1- lna
= ln(x+√(x^2+a^2)) + C

=$4dx/sin^2x
=4$csc^2xdx
=-4cotx+c

两题均是三角代换
1、设x=asinu,则√(a²－x²)³=a³cos³u,dx=acosudu
原式=∫1/(a³cos³u)*acosudu=1/a²*∫1/cos²udu=1/a²∫sec²udu=1/a²tanu+C
由sinu=x/a,知tanu=x/√(a²－x²),则原式=1/a²x/√(a²－x²)+C=x/(a²√(a²－x²))+C
2、设x=2sinu,则√(4－x²)=2cosu,dx=2cosudu
原式=∫x² dx/√4－x²=∫4sin²u/(2cosu)* 2cosudu=4∫sin²udu=2∫(1-cos2u)du
=2∫1du-∫cos2ud(2u)=2u-sin2u+C=2u-2sinucosu+C=2arcsinx-x*√(4－x²)/2+C

令√(x+2)=u,则x=u²-2,dx=2udu
∫ 1/[(x+1)√(x+2)] dx
=∫ 1/[(u²-1)u](2u) du
=2∫ 1/(u²-1) du
=∫ 1/(u-1) du - ∫ 1/(u+1) du
=ln|u-1| - ln|u+1| + C
=ln|√(x+2)-1| - ln|√(x+2)+1| + C
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

∫1/[x(x^5+4)] dx
=¼ ∫[(x^5+4)-x^5]/[x(x^5+4)] dx
=¼ ∫ [1/x-x^4/(x^5+4) ] dx
=¼[ ∫ 1/x dx-1/5 ∫ 1/(x^5+4) d(x^5+4)]
=¼ [ln|x|-1/5 ln|x^5+4|]+C
=¼ ln|x|-1/20 ln|x^5+4|+C

哈哈哈你的pi写的太好玩了
∫dx/[cos^2(2x+π/4)]
=∫dx/[1/2cos(4x+π/2)+1/2]
=∫dx/[-1/2sin(4x)+1/2]
=1/8*cos(4x)+C (C为常数)

∫dx/√(e^2x+e^(-2x)+2)=∫dx/(e^x+e^-x)=∫e^x/(e^2x+1)dx=∫1/(e^2x+1)de^x=arctane^x+c

∫dx/[x√(1-x^4)]
let
x^2 = siny
2xdx = cosy dy
∫dx/[x√(1-x^4)]
=(1/2)∫ (1/siny)dy
=(1/2)ln|cscy- coty| + C
= (1/2)ln| 1/x^2 - √(1-x^4) / x^2 | + C

1、∫ 3/(x³+1) dx
=∫ 3/[(x+1)(x²-x+1)] dx
令3/[(x+1)(x²-x+1)]=A/(x+1)+(Bx+C)/(x²-x+1)
右边通分相加与左边比较系数,得：A=1,B=-1,C=2
=∫ 1/(x+1) dx - ∫ (x-2)/(x²-x+1) dx
=ln|x+1| - (1/2)∫ (2x-1-3)/(x²-x+1) dx
=ln|x+1| - (1/2)∫ (2x-1)/(x²-x+1) dx + (1/2)∫ 3/(x²-x+1) dx
=ln|x+1| - (1/2)∫ 1/(x²-x+1) d(x²-x) + (3/2)∫ 1/[(x-1/2)²+3/4] dx
=ln|x+1| - (1/2)ln(x²-x+1) + √3arctan[(2x-1)/√3] + C

2、∫ 1/[x(x^6+4)] dx
分子分母同乘以x^5
=∫ x^5/[x^6(x^6+4)] dx
=(1/6)∫ 1/[x^6(x^6+4)] d(x^6)
=(1/24)∫ [1/x^6 - 1/(x^6+4)] d(x^6)
=(1/24)[lnx^6 - ln(x^6+4)] + C
=(1/4)ln|x| - (1/24)ln(x^6+4) + C

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