求y'+2y+x=0的通解

对应的齐次方程为
y'+2y=0
解得
y*=C(1)[e^(-2x)]
然后用常数变易法求原方程的解,
设原方程的解为 y=C(x)[e^(-2x)]
则 y'=C'(x)[e^(-2x)]+C(x)(-2)[e^(-2x)]
代入原方程,则
C'(x)[e^(-2x)]+C(x)(-2)[e^(-2x)]+2C(x)[e^(-2x)]+x=0
所以
C'(x)=-x[e^(2x)]
解上式得
C(x)=-(1/4)[(2x)e^(2x)-e^(2x)+C']
所以,原方程的解为
y=C(x)[e^(-2x)]
=-(1/4)[2x-1+C'e^(-2x)]
=-(x/2)+1/4+C[e^(-2x)],其中C=-C'/4为任意常数.

特征方程 r^2+2=0 r=±√2i 通解为y=C1cos(√2x)+C2sin(√2x)

y'+2y=0的通解
y=Ce^(-2x)
:令
y=ue^(-2x)代入 y'+2y+x=0
u'e^(-2x)+x=0
u=(-x/2+1/4)e^(2x)+c
则y'+2y+x=0的通解 y=(-x/2+1/4)+ce^(2x)